Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1299
Korollar 4.9.20 (Unabhängige Zufallsvariablen sind unkorreliert).
Sind zwei quadratintegrierbare relle Zufallsvariablen stochastisch unabhängig,
so sind sie unkorreliert.
Beweis. Seien X, Y unsere beiden Zufallsvariablen. Unter der zusammengefaßten
Zufallsvariablen (X, Y ) : Ω → R2 haben wir die Verwandtschaft
von Funktionen XY xy und nach 4.9.14 die Verwandtschaft von Maßen
P P X ⊠ P Y . Es folgt mit Fubini
E(XY ) =
XY P = Ω R2 xy(P X ⊠ P Y )
=
xP X
R R yP Y = E(X) E(Y )
4.10 Brown’sche Bewegung
4.10.1. Wir modellieren die Erfolgsaussichten einer Handelsstrategie an der
Börse durch ein einfaches Spiel: Es werde wiederholt eine Münze geworfen.
Vor jedem Wurf darf unser Spieler einen Einsatz wagen. Kommt Wappen, so
verliert er seinen Einsatz. Kommt Zahl dahingegen, so erhält er das Doppelte
seines Einsatzes ausgezahlt. Nun mag unser Spieler verschiedene Strategien
verfolgen. Naheliegend wäre es etwa, zunächst einmal mit einem Einsatz von
einem Euro zu beginnen und dann bei jedem Verlust den Einsatz zu verdoppeln,
bei jedem Gewinn jedoch wieder mit einem Einsatz von einem Euro
zu beginnen. Auch andere Strategien wären denkbar. Die Frage ist nun, mit
welcher Wahrscheinlichkeit ein gegebene Strategie nach einer gegebenen Zahl
von Würfen zu einem gegebenen Gewinn oder Verlust führt. Formal betrachten
wir dazu den Raum Ω = Ens(N, {W, Z}) aller Folgen von Buchstaben W
für Wappen und Z für Zahl und darauf die die Gleichverteilung im Sinne von
IV.6.2.30. Für ω ∈ Ω meint also ω(0) das Resultat des ersten Wurfes, ω(1) das
Resultat des zweiten Wurfes etc. Auf diesem Raum betrachten wir die aufsteigende
Folge von σ-Algebren F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ . . . mit Fn = ϕ ∗ nP({W, Z} n )
für ϕn : Ω → {W, Z} n die Projektion, die jeder Folge ihre n ersten Werte
zuordnet. Eine Strategie H ist nun eine Abbildung
H : N × Ω → R
mit der Eigenschaft, daß Hn : Ω → R, ω ↦→ H(n, ω) jeweils meßbar ist
bezüglich Fn. Anschaulich bedeutet die Meßbarkeit hier, daß unsere Strategie
für die Wahl des Einsatzes H(n, ω) vor dem (n + 1)-ten Münzwurf nur von
den Ausgängen (ω(0), . . . , ω(n − 1)) der vorhergehenden n Würfe abhängen
darf.
4.10.2. Wir denken uns nun weiter die zufällige Wanderung in Z, die bei Null
beginnt und die bei “Zahl” einen Schritt in die positive Richtung geht, bei