Analysis

1040 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
10.3.3. In derselben Weise wie im vorhergehenden Beispiel 10.3.2 ausgeführt
erhalten wir auch alle anderen Entsprechungen der folgenden Tabelle:
O(n)-Struktur Riemann’sche Metrik
SO(n)-Struktur Riemann’sche Metrik und Orientierung
GL(n; R) + -Struktur Orientierung
{| det | = 1}-Struktur Dichte
SL(n; R)-Struktur Orientierung und Dichte
GL(n; C)-Struktur fastkomplexe Struktur
U(n)-Struktur fastkomplexe Struktur und hermitesche Metrik
10.4 Funktionen auf kompakten Matrix-Liegruppen
Lemma 10.4.1. Gegeben eine kompakte Matrix-Liegruppe liegen die Matrixkoeffizienten
der reellen stetigen endlichdimensionalen Darstellungen dicht
im Raum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf unserer Gruppe in Bezug
auf die Norm der gleichmäßigen Konvergenz.
Beweis. Das folgt sofort aus dem Satz von Stone-Weierstraß III.3.2.7, da ja
die darstellenden Funktionen eine Unterringalgebra von C(G; R) bilden, die
die Punkte trennen muß, da schon die Matrixkoeffizienten der definierenden
Darstellung unserer Matrix-Liegruppe die Punkte trennen.
Lemma 10.4.2. Gegeben eine kompakte Matrix-Liegruppe liegen die Matrixkoeffizienten
der komplexen stetigen endlichdimensionalen Darstellungen
dicht im Raum aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf unserer Gruppe
in Bezug auf die Norm der gleichmäßigen Konvergenz.
Beweis. Das folgt sofort aus dem Satz von Stone-Weierstraß für komplexwertige
Funktionen III.3.2.13, da ja die darstellenden Funktionen eine unter
komplexer Konjugation stabile Unterringalgebra von C(G) bilden, die die
Punkte trennt.
Satz 10.4.3 (Orthonormalitätsrelationen für Matrixkoeffizienten).
Sei G eine kompakte Matrix-Liegruppe. Bilden die ρ λ : G → GL(d λ ; C)
ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen stetiger einfacher unitärer
Darstellungen von G, so bilden die renormalisierten Matrixkoeffizienten
√ d λ ρ λ ij eine Hilbert-Basis von L 2 (G).
Lemma 10.4.4. Ist G ⊂ GL(n; R) eine kompakte Untergruppe, so sind die
Matrixkoeffizienten von G genau die Restriktionen von Polynomen in den
Matrixeinträgen.