Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 721
Lemma 3.3.17 (Polynomialer spektraler Abbildungssatz). Gegeben
ein Element x einer Banachalgebra A und ein Polynom P ∈ C[X] ist das
Spektrum des Bildes von x unter P das Bild des Spektrums von x unter P.
In Formeln gilt also
σA(P (x)) = P (σA(x))
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei P nicht das Nullpolynom.
Gegeben λ ∈ C schreiben wir P (X) − λ als Produkt von Linearfaktoren
P (X) − λ = γ(X − µ1) . . . (X − µr) und dann sind die µi genau die Stellen,
an denen unser Polynom den Wert λ annimmt, in Formeln P −1 (λ) =
{µ1, . . . , µr}. Setzen wir nun x ein, so folgt P (x) − λ = γ(x − µ1) . . . (x − µr)
und die linke Seite ist nicht invertierbar, also λ ∈ σA(P (x)), genau dann,
wenn einer der Faktoren auf der rechten Seite nicht invertierbar ist, wenn
also µ ∈ σA(x) existiert mit P (µ) = λ.
Übung 3.3.18. Man zeige: Ist x ein invertierbares Element einer Banachalgebra,
so gilt σ(x −1 ) = {λ −1 | λ ∈ σ(x)}. Hinweis: (x−λ)(λx) −1 = (λ −1 −x −1 ).
Übung 3.3.19. Für jeden unitären Automorphismus x eines Hilbertraums H
ist das Spektrum von x als Element der Banachalgebra B(H) enthalten in der
Kreislinie S 1 ⊂ C. Hinweis: Aus 3.3.13 folgt leicht, daß besagtes Spektrum in
der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe enthalten sein muß. Dann beachte
man, daß dasselbe für das Spektrum von x −1 gelten muß und wende 3.3.18
an.
3.4 Spektren selbstadjungierter Operatoren
Proposition 3.4.1 (Spektralradius und Operatornorm). Für jeden
selbstadjungierten Operator T auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum
stimmen Spektralradius und Operatornorm überein, in Formeln
ρ(T ) = T
3.4.2. Unsere Formel zeigt zumindest für jeden selbstadjungierten Operator
auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum, daß sein Spektrum nicht leer
sein kann. Später werden wir unsere Formel allgemeiner für “normale” Operatoren
zeigen.
Beweis. Sei T : H → H unser Operator. Gegeben ein Vektor v der Länge Eins
gilt T v 2 = 〈T v, T v〉 = 〈v, T 2 v〉 ≤ vT 2 v = T 2 v. Das zeigt T 2 ≤
T 2 . Die andere Ungleichung gilt eh, womit wir für jeden selbstadjungierten
Operator T folgern
T 2 = T 2