Analysis

486 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
A ∈ End V, so haben wir bereits in II.7.4.9 gezeigt, daß seine maximalen Integralkurven
genau diejenigen Abbildungen R → V sind, die gegeben werden
durch die Formeln γ(t) = exp(tA)c mit c ∈ V.
5.1.9 (Zeitverschiebung). Gegeben ein Vektorfeld auf einer halboffenen
Teilmenge eines normierten reellen Raums und eine Integralkurve (γ, I) ist
für alle c ∈ R auch die Abbildung t ↦→ γ(t + c) eine Integralkurve, die nun
eben definiert ist auf dem verschobenen Intervall I − c. Das gilt im Fall zeitabhängiger
Vektorfelder natürlich so nicht mehr.
Übung 5.1.10 (Verhalten unter differenzierbaren Abbildungen). Entsprechen
sich unter einem Diffeomorphismus zwei Vektorfelder, so entsprechen
sich auch deren Integralkurven. Allgemeiner haben offensichtlich im
Sinne von 3.1.16 verwandte Vektorfelder auch verwandte Integralkurven. Ist
genauer unter einer stetig differenzierbaren Abbildung φ ein Vektorfeld A
verwandt zu einem Vektorfeld B, so ist für jede Integralkurve γ von A auch
φ ◦ γ eine Integralkurve von B. Ist insbesondere ein Vektorfeld A unter einer
stetig differenzierbaren Abbildung φ verwandt zum Nullfeld, in Formeln
φ : A ❀ 0, und ist γ eine seiner Integralkurven, so ist φ◦γ eine Integralkurve
des Nullfelds und mithin konstant, als da heißt, die Funktion φ ist konstant
auf Integralkurven von A. Man nennt die Funktion φ dann auch ein erstes
Integral unserer Differentialgleichung. In physikalischen Modellen liefern oft
Energie, Impuls und Drehimpuls solche ersten Integrale.
Satz 5.1.11 (Picard-Lindelöf). 1. Gegeben ein stetig differenzierbares
Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines reellen Raums endlicher
Dimension gibt es zu jedem Anfangswert genau eine größte Integralkurve.
2. Diese größte Integralkurve hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall,
und ist dieses Intervall nach oben beschränkt, so verläßt die fragliche
Integralkurve für positive Zeiten jedes Kompaktum aus unserer
offenen Teilmenge irgendwann einmal endgültig.
5.1.12. Wir zeigen diesen Satz als 5.2.6 sogar unter noch etwas schwächeren
Voraussetzungen. Der letzte Teil des Satzes besagt salopp formuliert, daß
der Grund dafür, daß sich eine Integralkurve nicht beliebig weit in Richtung
positiver Zeiten fortsetzen läßt, nur darin liegen kann, daß sie bereits
in endlicher Zeit “aus dem Definitionsbereich des Vektorfeldes hinausläuft”.
Entsprechendes gilt in Richtung negativer Zeiten, was man auch formal durch
Betrachtung des mit (−1) multiplizierten Vektorfelds leicht folgern kann. Von
unserer Integralkurve fordern wir natürlich nur, daß sie in der partiell geordneten
Menge aller Integralkurven zu unserem festen Anfangswert das größte
Element sein soll. Da größte Elemente in partiell geordneten Mengen eh