Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 119
Bemerkung 2.2.8. Hier mögen Sie sich an unsere Sprachregelung I.2.3.3 erinnern.
Gemeint ist demnach: Jede Folge in einer angeordneten Menge besitzt
mindestens eine monotone Teilfolge.
Beweis. Wir nennen ein Folgenglied xn oder präziser seinen Index n einen
“Aussichtspunkt” der Folge genau dann, wenn alle späteren Folgenglieder
kleiner sind, in Formeln xn > xm für alle m > n. Besitzt unsere Folge unendlich
viele Aussichtspunkte, so bilden diese eine streng monoton fallende
Teilfolge. Sonst gibt es einen letzten Aussichtspunkt xn. Dann finden wir aber
eine monoton wachsende Teilfolge, die mit xn+1 beginnt, denn ab dem Index
n + 1 kommt dann nach jedem Folgenglied noch ein anderes, das mindestens
ebenso groß ist.
Satz 2.2.9 (Bolzano-Weierstraß). Jede Folge in R besitzt eine in R konvergente
Teilfolge. Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine reell
konvergente Teilfolge.
Beweis. Jede Folge in R besitzt nach 2.2.7 eine monotone Teilfolge, und diese
ist nach 2.2.4 konvergent in R. Ist unsere Folge beschränkt, so ist auch jede
solche Teilfolge beschränkt und konvergiert folglich gegen eine reelle Zahl.
Definition 2.2.10. Eine Folge (xn)n∈N von reellen Zahlen heißt eine Cauchy-
Folge genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein N = Nε ∈ N gibt derart, daß
gilt |xn − xm| < ε falls n, m ≥ N. Analog erklärt man Cauchy-Folgen in
beliebigen angeordneten Körpern.
Satz 2.2.11. Eine Folge reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl
genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Beweis. Daß jede reell konvergente Folge Cauchy sein muß, ist leicht zu sehen:
Aus limn→∞ xn = x folgt, daß es für alle ε > 0 ein N ∈ N gibt mit |xn − x| <
ε/2 für n ≥ N. Daraus folgt dann |xn−xm| < ε für n, m ≥ N. Wir zeigen nun
umgekehrt, daß auch jede Cauchy-Folge gegen eine reelle Zahl konvergiert.
Eine Cauchy-Folge xn ist sicher beschränkt, denn wählen wir für ε = 1 ein
N = Nε, so liegen fast alle Folgenglieder im Intervall (xN −1, xN +1), und die
endlich vielen Ausnahmen können wir durch eine hinreichend große Schranke
auch noch einfangen. Unsere Cauchy-Folge besitzt daher nach 2.2.9 eine reell
konvergente Teilfolge xnk , sagen wir limk→∞ xnk = x. Wir behaupten, daß
dann auch die Folge xn selbst gegen x konvergiert. In der Tat gibt es für
alle ε > 0 ein Nε mit n, m ≥ Nε ⇒ |xn − xm| < ε. Aus n ≥ Nε folgt
damit insbesondere |xn − xnk | < ε für fast alle k und dann im Grenzwert
|xn − x| ≤ ε , da ja die Ungleichungen −ε ≤ xn − xnk ≤ ε bestehen bleiben
beim Grenzübergang k → ∞.