Analysis

1194 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Satz 1.13.4 (Flache Zusammenhänge und Flachheitsstrukturen).
Sei E ein glattes n-dimensionales reelles Vektorraumbündel auf einer glatten
Mannigfaltigkeit X. Die Zuordnung, die jedem flachen Zusammenhang
die Garbe seiner flachen Schnitte zuordnet, liefert eine Bijektion
flache Zusammenhänge ∇ ∼→ Flachheitsstrukturen
auf dem Bündel E
F ⊂ C ∞ E
Beweis. Jeder Zusammenhang zeichnet gewisse Vektoren im Tangentialraum
an den Totalraum E unseres Bündels als “horizontal” aus, und im Fall eines
flachen Zusammenhangs bilden diese horizontalen Vektoren eine involutive
Distribution. Ist X eine offene Kreisscheibe, so gehört jeder Punkt von E
nach dem Satz von Frobenius VI.5.9.2 zu genau einer maximalen Integralmannigfaltigkeit
dieser Distribution, und diese wird von der Bündelprojektion
diffeomorph auf X abgebildet.
1.14 Tangentenumlaufzahl
Definition 1.14.1. Gegeben eine stetig differenzierbare periodische Abbildung
γ : R → C mit Periode P > 0 und nirgends verschwindender Ableitung
erklären wir ihre Tangentenumlaufzahl als die Umlaufzahl des Weges
γ ′ : [0, P ] → C × um den Ursprung.
Satz 1.14.2 (Tangentenumlaufzahl eingebetteter Wege). Ist eine stetig
differenzierbare periodische Abbildung γ : R → C mit Periode P > 0 und
nirgends verschwindender Ableitung injektiv auf [0, P ), so ist ihre Tangentenumlaufzahl
Eins oder minus Eins.
Beweis. Wir behandeln zunächst den Spezialfall, daß unser Weg ganz in der
abgeschlossenen oberen Halbebene verläuft, in Formeln Im γ(t) ≥ 0 für alle
t ∈ R, und daß es ε ∈ (0, P/2) gibt mit γ(t) = t für |t| ≥ 2ε. Im Anschluß
zeigen wir dann, wie man sich auf diesen Fall zurückziehen kann. Zunächst
überlegt man sich, daß für jede stetig differenzierbare Abbildung γ : R → C
die “Tangenten-Sekanten-Abbildung”
φ : R 2 → C
(s, t) ↦→
γ(s)−γ(t)
s = t;
s−t
γ ′ (s)=γ ′ (t) s = t,
stetig ist, vergleiche auch II.3.2.8. Unter unseren Annahmen im Satz landet
besagte Abbildung sogar bereits in C × . In unserem Spezialfall gilt sogar
zusätzlich γ ′ (t) = 1 für |t| ≤ ε. Damit hat γ ′ : [0, P ] → C × dieselbe Umlaufzahl
wie γ ′ : [ε, P ] → C × , und dieser Weg ist aufgrund der Stetigkeit der