Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 251
6.7.2. Eine Teilmenge A eines metrischen Raums nennen wir kompakt oder
auch ein Kompaktum genau dann, wenn sie kompakt ist als metrischer
Raum mit der induzierten Metrik, wenn also jede Folge in A eine Teilfolge
besitzt, die gegen einen Punkt aus A konvergiert.
Übung 6.7.3. Endliche Vereinigungen kompakter Teilmengen eines metrischen
Raums sind stets wieder kompakt.
6.7.4. Jeder kompakte metrische Raum ist beschränkt. Ist in der Tat ein
Raum nicht beschränkt, so finden wir darin eine Folge xn mit d(x0, xn) ≥ n,
und diese Folge kann nach 6.3.8 keine konvergente Teilfolge haben.
Proposition 6.7.5. Jedes endliche Produkt von kompakten metrischen Räumen
ist kompakt.
Beweis. Sei X = X1 × . . . × Xn mit kompakten Xi. Sei eine Folge in X gegeben.
Da X1 kompakt ist, finden wir eine Teilfolge unserer Folge, die in der
ersten Koordinate konvergiert. Da auch X2 kompakt ist, finden wir von dieser
Teilfolge hinwiederum eine Teilfolge, die auch in der zweiten Koordinate
konvergiert. Indem wir so weitermachen, finden wir schließlich eine Teilfolge,
die in jeder Koordinate konvergiert. Diese Teilfolge konvergiert dann nach
6.3.3 auch in X.
Lemma 6.7.6. Eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raums ist stets
abgeschlossen.
Beweis. Sei X unser Raum und A ⊂ X unsere Teilmenge. Ist A nicht abgeschlossen,
so gibt es eine Folge in A, die gegen einen Punkt aus X\A
konvergiert. Solch eine Folge kann aber unmöglich eine Teilfolge haben, die
gegen einen Punkt aus A konvergiert.
Übung 6.7.7. Eine Teilmenge eines kompakten metrischen Raums ist kompakt
genau dann, wenn sie abgeschlossen ist.
Satz 6.7.8 (Heine-Borel). Eine Teilmenge des R n ist kompakt genau dann,
wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Beweis. Nach 6.7.4 und 6.7.6 ist eine kompakte Teilmenge eines metrischen
Raums stets beschränkt und abgeschlossen. In der anderen Richtung wissen
wir schon, daß für jedes k ≥ 0 das Intervall [−k, k] kompakt ist. Falls eine
Teilmenge A ⊂ R n beschränkt ist, finden wir ein k mit A ⊂ [−k, k] n .
Nach 6.7.5 ist nun [−k, k] n kompakt, und als abgeschlossene Teilmenge eines
kompakten Raums ist nach 6.7.3 dann auch A selbst kompakt.
Beispiel 6.7.9. Die Menge [0, 1] ∩ Q ist abgeschlossen in Q und beschränkt,
ist aber nicht kompakt für die induzierte Metrik.