Analysis

368 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Differential Null. Indem wir vor f eine geeignete Verschiebung davorschalten,
dürfen wir zusätzlich auch ohne Beschränkung der Allgemeinheit p = 0
annehmen. Gegeben eine offene konvexe Umgebung C ⊂◦ Y des Nullvektors
von Y finden wir nun sicher δ > 0 derart, daß alle partiellen Ableitungen
∂f
auf dem Ball B(0; δ) nur Werte in C annehmen und daß dieser Ball ganz
∂xi
in U enthalten ist. Aus dem Schrankensatz II.7.2.11 folgt für |h| < δ schon
f(h1, . . . , hi−1, hi, 0, . . . , 0) − f(h1, . . . , hi−1, 0, 0, . . . , 0) ∈ hiC und insgesamt
f(h) = f(h) − f(0) ∈ (h1 + . . . + hn)C
und für h = 0 also f(h)/|h| ∈ nC. Damit ergibt sich limh→0 f(h)/|h| = 0 wie
gewünscht.
Korollar 1.5.4. Seien x1, . . . , xn : R → R differenzierbare Abbildungen
und sei F : R n → R stetig partiell differenzierbar. So ist die durch die
Vorschrift t ↦→ F (x1(t), . . . , xn(t)) gegebene Abbildung differenzierbar und
ihre Ableitung an der Stelle t = a wird unter Verwendung der Abkürzung
x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) gegeben durch die Formel
d
dt
t=a
F (x(t)) = ∂F
∂x1
(x(a)) dx1
∂F
(a) + . . . + (x(a))
dt ∂xn
dxn
dt (a)
1.5.5. Natürlich gilt die Aussage auch dann noch, wenn unsere Funktionen
xi auf einem echten Intervall I ⊂ R definiert sind und F auf einer offenen
Teilmenge von R n , solange nur x(t) stets im Definitionsbereich von F liegt.
Man schreibt diese Formel meist etwas salopp in der Form
dF
dt
∂F dx1 ∂F dxn
= + . . . +
∂x1 dt ∂xn dt
Beweis. Wir betrachten x als eine Abbildung x : R → Rn
. Nach Definition ist
d F (x1(t), . . . , xn(t)) = (da(F ◦ x))(1) der einzige Eintrag in der Matrix
dt t=a
der linearen Abbildung da(F ◦ x) : R → R. Mit der Kettenregel finden wir
nun
da(F ◦ x) = dx(a)F ◦ dax
=
∂F
∂x1
(x(a)), . . . , ∂F
∂xn (x(a))
dx1
= ∂F dx1
∂F dxn
(x(a)) (a) + . . . + (x(a)) ∂x1 dt ∂xn dt (a)
dt
dxn
(a)), . . . , dt (a)
⊤ wobei in der vorletzten Zeile das Produkt einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix
zu verstehen ist, wie der obere Index ⊤ andeutet.