Analysis

1200 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
3 Klassische Mechanik
3.1 Die Newton’schen Bewegungsgleichungen
3.1.1. Um die Newton’schen Bewegungsgleichungen zu formulieren, wählen
wir zusätzlich zu unserer Zeit T aus ?? und unserem Anschauungsraum E
aus ?? noch einen R>0-Torsor M>0 im Sinne von ??.??, dessen Elemente wir
Massen nennen. Ein Element dieses Torsors ist zum Beispiel das in der französischen
Revolution gewählte Gramm g ∈ M>0, das dadurch bestimmt ist,
daß 1000 g in etwa die Masse eines Wasserwürfels der Kantenlänge 0,1 m ist.
Den zugehörigen orientierten eindimensionalen reellen Vektorraum notieren
wir
Masse = M := R ×R>0 M>0
Die Newton’schen Bewegungsgleichungen beschreiben die Bewegung eines
Körpers oder Teilchens in Abhängigkeit von seiner Masse, die etwa bestimmt
werden kann durch das Aufwiegen mit Wasser und Bestimmung des benötigten
Wasservolumens oder, wenn man es genauer braucht, durch den Vergleich
mit der Masse eines im “Bureau international des poids et mésures” in Sèvres
bei Paris seit 1889 sorgsam gehüteten Zylinders aus einer Platin-Iridium-
Legierung, des sogenannten Urkilogramms.
3.1.2. Gegeben ein bewegtes Teilchen im Sinne der Newton’schen Mechanik
alias eine Abbildung
γ : T → E
von der Zeit oder allgemeiner einem halboffenen Intervall dieser nach ??
angeordneten Menge in den Anschauungsraum, ist ihr Differential IV.1.2.2,
wenn es denn existiert, eine Abbildung ˙γ : t ↦→ dtγ, T → Hom( T, E). Unter
unserer Identifikation Hom( T, E) ∼ → E ⊗ T ∗ aus ?? wird dieses Differential
zu einer Abbildung
˙γ : T → E ⊗ T ∗
Man nennt ˙γ(t) die Geschwindigkeit oder präziser die vektorielle Geschwindigkeit
unseres Teilchens zum Zeitpunkt t.
3.1.3. Seien gegeben ein reeller Vektorraum V , ein orientierter eindimensionaler
reeller Vektorraum L, ein Skalarprodukt mit Einheiten s : V ⊗ V → L ⊗2
im Sinne von ??, sowie ein weiterer eindimensionaler orientierter Vektorraum
T . In dieser Situation erhalten wir durch Darantensorieren von T ⊗2
offensichtlich auf V ⊗ T ein Skalarprodukt mit Einheiten in L ⊗ T .
3.1.4. Das kanonische Skalarprodukt auf E liefert insbesondere auf E ⊗ T ∗
ein Skalarprodukt mit Einheiten in L ⊗ T ∗ . Die zugehörige Länge im Sinne
von ?? des Geschwindigkeitsvektors ˙γ(t) ∈ E ⊗ T ∗ heißt die absolute
Geschwindigkeit ˙γ(t) ∈ (L ⊗ T ∗ )≥0 unseres Teilchens zum Zeitpunkt t.