Analysis

608 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
g(U)∩(0×R k−1 ×0). Insbesondere ist der Rand ∂M einer berandeten Untermannigfaltigkeit
der Dimension k ≥ 1 stets eine Untermannigfaltigkeit ohne
Rand der Dimension (k − 1).
Beweis. Gegeben ein Randpunkt p ∈ U ∩ ∂M gibt es per definitionem eine
Randplättung (V, h) von M um p mit h(p) ∈ 0 × R k−1 × 0. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit dürfen wir U = V annehmen. Dann ist also h ◦ g −1
ein Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen g(U), h(U) des R n , der
die jeweiligen Schnitte G, H besagter Teilmengen mit (R≤0 × R k−1 × 0) miteinander
identifiziert. Mithin definiert ϕ = h −1 ◦ g eine stetig differenzierbare
Abbildung mit stetig differenzierbarer Umkehrung zwischen diesen Schnitten
ϕ : H ∼ → G, die ja halboffen sind in R k × 0. Die Komplemente H ◦ , G ◦
von (0 × R k−1 × 0) in H, G sind dann die größten in R k × 0 offenen Teilmengen
von H, G und aus dem Satz über die Umkehrabbildung 4.1.2 folgt
ϕ(H ◦ ) = G ◦ . Also muß unsere Abbildung auch die Schnitte beider Mengen
mit (0 × R k−1 × 0) identifizieren.
Beispiele 7.7.11. Der einzige Randpunkt der glatt berandeten Teilmenge
[a, b) ⊂ R ist a. Die abgeschlossene Einheitskreisscheibe in der Ebene ist
auch als Teilmenge des Raums aufgefaßt eine zweidimensionale berandete
Untermannigfaltigkeit mit dem Einheitskreis als Rand.
7.7.12. Eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums ist in der
Zusammenschau der vorhergehenden Definitionen also eine C l -Untermannigfaltigkeit
ohne Rand oder kurz C l -Untermannigfaltigkeit für 1 ≤ l ≤
∞ genau dann, wenn es um jeden Punkt unserer Teilmenge eine Plättung
im Sinne von 4.3.2 gibt, die sogar ein C l -Diffeomorphismus ist. Eine C ∞ -
Untermannigfaltigkeit nennen wir auch eine glatte Untermannigfaltigkeit.
Die Beschreibungen 4.3.10 und 4.3.14 von Untermannigfaltigkeiten
als Urbilder bzw. als Bilder gelten analog, wenn man an den entsprechenden
Stellen die Bedingung “stetig differenzierbar” zur Bedingung “von der Klasse
C l ” verstärkt. Sprechen wir ohne nähere Spezifizierung von Untermannigfaltigkeiten,
so sind im Zweifelsfall stets glatte Untermannigfaltigkeiten ohne
Rand gemeint.
Übung 7.7.13. Seien X und Y endlichdimensionale reelle Räume, U ⊂◦ X eine
offene Teilmenge und f : U → Y eine stetig differenzierbare Abbildung mit
überall surjektivem Differential. So ist für jede berandete Untermannigfaltigkeit
C ⊂ Y ihr Urbild M = f −1 (C) eine berandete Untermannigfaltigkeit
von X der Dimension dim X − dim Y + dim C mit Rand ∂M = f −1 (∂C).
Man erkennt so zum Beispiel, daß alle Vollkugeln berandete Untermannigfaltigkeiten
sind. Hinweis: 4.3.10 und 4.3.12.