Analysis

286 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Definition 7.5.7. Unter einem Banach-Raum oder genauer einem reellen
Banach-Raum versteht man einen vollständigen normierten reellen Vektorraum.
Sobald wir die komplexen Zahlen kennengelernt haben, werden wir
auch und sogar überwiegend mit komplexen Banachräumen arbeiten.
Lemma 7.5.8. Jeder endlichdimensionale normierte reelle Vektorraum ist
vollständig, in anderen Worten also ein Banachraum.
Beweis. Wir wählen irgendeinen Vektorraumisomorphismus mit dem R n . Die
so induzierte Norm auf dem R n ist nach 6.9.21 äquivalent zur Maximumsnorm
und liefert also dieselben Cauchyfolgen und dieselben Grenzwerte von
Folgen. Die Maximumsnorm auf dem R n hinwiederum führt zum Betragsabstand,
und für diese Metrik wissen wir seit 7.5.2, daß sie den R n zu einem
vollständigen metrischen Raum macht.
Übung 7.5.9. Seien V, W normierte Vektorräume. Ist W vollständig, so ist
auch der Raum B(V, W ) der stetigen linearen Abbildungen von V nach W
aus 6.9.27 vollständig.
Übung 7.5.10. Ist V ein Banachraum und D eine Menge, so ist auch der
Vektorraum Ens b (D, V ) aus 6.9.8 aller beschränkten Abbildungen von D
nach V mit seiner Supremumsnorm vollständig.
Definition 7.5.11. Gegeben ein normierter Vektorraum V heißt eine Familie
(vi)i∈I von Vektoren aus V summierbar mit Summe s ∈ V und man
schreibt
vi = s
i∈I
genau dann, wenn es für jede Umgebung U von s eine endliche Teilmenge
IU ⊂ I gibt derart, daß für jede endliche Obermenge J von IU in I gilt
vi ∈ U
i∈J
Man sieht leicht, daß die Summe einer summierbaren Familie stets eindeutig
bestimmt ist. Dieselbe Definition verwenden wir später allgemeiner für
beliebige “abelsche Hausdorff’sche topologische Gruppen”.
Übung 7.5.12. Eine abzählbare Familie ist summierbar genau dann, wenn
für jede Abzählung die Folge der Partialsummen konvergiert und für je zwei
Abzählungen die entsprechenden Grenzwerte übereinstimmen.
Übung 7.5.13. Gegeben ein normierter Vektorraum V und eine summierbare
Familie (vi)i∈I von Vektoren von V und eine stetige lineare Abbildung