Analysis

3. VERSCHIEDENE WEITERFÜHRENDE RESULTATE 1403
Produkt betragsmäßig beschränkt sind und das Produkt mit ihnen deshalb
nicht die gleichmäßige Konvergenz zerstören kann. Die Unabhängigkeit des
unendlichen Produkts von der Reihenfolge der Faktoren folgt leicht aus dem
Umordnungssatz für Reihen II.2.5.17.
Lemma 3.3.6. Gegeben U ⊂◦ C wegweise einfach zusammenhängend und
f : U → C holomorph ohne Nullstelle gibt es h : U → C holomorph mit
f(z) = exp h(z) für alle z ∈ U.
Beweis. Nach 1.4.14 hat die holomorphe Funktion z ↦→ f ′ (z)/f(z) eine Stammfunktion
z ↦→ g(z) auf U. Ableiten zeigt, daß z ↦→ exp(g(z))/f(z) konstant
ist. Wir können also h(z) = c + g(z) nehmen für eine geeignete Konstante
c ∈ C.
3.3.7. In der Topologie ?? können sie lernen, daß es allgemeiner für jeden
einfach zusammenhängenden topologischen Raum U und jede stetige
Abbildung f : U → C × eine stetige Abbildung h : U → C gibt mit
f(z) = exp h(z) ∀z ∈ U. Daß für U ⊂◦ C mit f auch h holomorph sein
muß, folgt dann aus der lokalen Umkehrbarkeit von exp. Diese Argumentation
gefällt mir sehr viel besser als der vorhergehende Beweis.
Übung 3.3.8. Für jede holomorphe Funktion f ohne Nullstellen mit wegweise
einfach zusammenhängenden Definitionsbereich und jedes n ≥ 1 gibt es
eine holomorphe Funktion g mit demselben Definitionsbereich und mit der
Eigenschaft g(z) n = f(z) für alle Punkte z aus dem Definitionsbereich.
3.4 Gammafunktion
Satz 3.4.1. Es gibt genau eine meromorphe Funktion Γ : C → C ⊔ {∞}
derart, daß für alle z ∈ C mit Re z > 0 gilt
∞
Γ(z) = e −t t z−1 dt
0
Sie heißt die Gammafunktion und hat die Werte Γ(n + 1) = n! für alle
natürlichen Zahlen n ∈ N. Im Körper der meromorphen Funktionen auf C
gilt die Funktionalgleichung Γ(z + 1) = zΓ(z). Unsere Gammafunktion ist
auf C\{0, −1, −2, . . .} holomorph und hat für n ∈ N bei z = −n jeweils eine
einfache Polstelle mit Residuum (−1) n /n!.
3.4.2. Ich will zumindest zwei Gründe dafür angeben, warum diese Funktion
von Bedeutung ist: Erstens tritt sie in der Funktionalgleichung der Riemann’schen
ζ-Funktion 4.1.8 auf, und zweitens führt sie zu Abschätzungen
von n!, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie nützlich sind.