Analysis

1. STEINBRUCH-HALDE 1189
injektive Abbildung L 2 (X; µ)⊗L 2 (Y ; ν) → L 2 (X×Y ; µ⊗ν), f⊗g ↦→ f⊠g, von
der nur noch gezeigt werden muß, daß ihr Bild dicht liegt. Nun liegt aber das
Erzeugnis der charakteristischen Funktionen von Mengen endlichen Maßes
stets dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen. Jede Teilmenge
endlichen Maßes von X × Y läßt sich einbetten in die Vereinigung einer
Folge paarweise disjunkter Quader mit in beiden Seiten endlichem Maß, deren
Gesamtmaß nur um ein Weniges größer ist. Nehmen wir dann von dieser Folge
nur ein hinreichend langes Anfangsstück, so wird das Gesamtmaß wieder nur
um ein Geringes kleiner. So sehen wir, das die fraglichen Produkte dicht
liegen.
Übung 1.11.3. (Hinweis: 4.5.4.) Gegeben eine Familie (Xi, µi)i∈I von Maßräumen
mit disjunkter Vereinigung (X, µ) liefert die offensichtliche Abbildung
einen Isomorphismus von Hilberträumen
i∈I L2 (Xi; µi) ∼ → L 2 (X; µ)
1.11.4. Gegeben ein Hilberträume H ′ , H liefert die Identifikation ¯ H ∼ → H ∗ des
konjugierten Raums mit dem topologischen Dualraum eine Injektion H ′ ⊗
¯H ↩→ B(H, H ′ ). Man zeigt unschwer, daß sie stetig ist für das offensichtliche
Skalarprodukt auf dem Tensorprodukt und die Operatornorm auf dem Raum
der beschränkten Operatoren, so daß sie sich in eindeutiger Weise stetig auf
die Vervollständigung des Tensorprodukts fortsetzen läßt zu einer Abbildung
H ′ ˆ⊗ ¯ H → B(H, H ′ )
Die Operatoren im Bild dieser Abbildung heißen Hilbert-Schmidt-Operatoren.
Wir behaupten nun, daß unsere Fortsetzung auch injektiv ist. Sei dazu (vi)i∈I
eine Hilbertbasis von H und (v ′ i)i∈I eine Hilbertbasis von H ′ . Sicher bilden die
v ′ i ⊗ ¯vj eine Hilbertbasis von H ′ ˆ⊗ ¯ H. Jedem aij(v ′ i ⊗ ¯vj) aus H ′ ˆ⊗ ¯ H können
wir nun den Operator A zuordnen, der b = bjvj auf Ab =
i (
j aijbj)v ′ i
abbildet: Die Cauchy-Schwartz’sche Ungleichung liefert erst |
j |aijbj| 2 ≤ (
j |aij| 2 )(
j |bj| 2 ) und durch Summation über i dann
i,j
|aijbj| 2 ≤
i,j
|aij| 2
j
|bj| 2
j aijbj| 2 ≤
Folglich ist Ab wirklich ein wohldefinierter Vektor von H ′ ist, und wir erhalten
zusätzlich die Abschätzung
Ab ≤ |aij| 2
1/2 b
i,j