Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 739
mit T, T ′ selbstadjungiert kommutiert für jede beschränkte meßbare Abbildung
f : R → C auch das entsprechende Diagramm mit f(T ), f(T ′ ) statt
T, T ′ , in Formeln AT = T ′ A ⇒ Af(T ) = f(T ′ )A. Hinweis: Man erinnere
sich an 3.4.12 und finde für v ∈ H eine Folge stetiger durch f∞ beschränkter
Funktionen, die bezüglich der Summe der Spektralmaße von v und Av
fast überall gegen f strebt.
Lemma 3.7.6 (Identitätsteilung zu einem selbstadjungierten Operator).
Gegeben ein Hilbertraum H mit einem selbstadjungierten Operator
T sind die Operatoren [M](T ) für Borelmengen M ⊂ R die Projektoren einer
kompakt getragenen Teilung ΦT der Identität von H.
3.7.7. Hier meint [M] : R → C die charakteristische Funktion der Borelmenge
M ⊂ R und [M](T ) den Operator auf H, der daraus im Rahmen unseres
Funktionalkalküls durch Anwenden auf T entsteht.
Beweis. Die charakteristische Funktion [M] von M ist reellwertig und idempotent,
in Formeln [M] 2 = [M], folglich ist [M](T ) selbstadjungiert und idempotent.
Aus M ∩ M ′ = ∅ folgt weiter [M] · [M ′ ] = 0 und nach 3.7.4 damit
[M](T ) ◦ [M ′ ](T ) = 0. Als nächstes bemerken wir, daß nach 3.7.4.5 für jede
aufsteigende Folge M0 ⊂ M1 ⊂ . . . von meßbaren Mengen mit Vereinigung
M und für alle v ∈ H die Folge der [Mn](T )v gegen [M](T )v konvergiert.
Schließlich bemerken wir noch, daß die Definition 3.7.2 für die konstante
Funktion 1 auf dem Spektrum die Gleichung [σ(T )](T ) = id liefert und sind
fertig.
Lemma 3.7.8 (Rekonstruktion eines Operators aus seiner Identitätsteilung).
Gegeben ein Hilbertraum H mit einem selbstadjungierten Operator
T und zugehöriger Teilung der Identität ΦT im Sinne von 3.7.6 haben
wir stets
T = xΦT 〈x〉
3.7.9. Der Beweis zeigt sogar allgemeiner für jede meßbare beschränkte Funktion
f : σ(T ) → C die Identität
f(T ) =
f(x)ΦT 〈x〉
Sobald der Spektralsatz also einmal bewiesen ist, wird das Anwenden meßbarer
Funktionen auf selbstadjungierte Operatoren sehr einfach.