Analysis

456 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
R 3 ∼ → R 3 mit g(x, y, z) = (x, y, z −f(x, y)) nehmen. Der Einheitskreis ist eine
eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R 2 . Eine Untermannigfaltigkeit
der Dimension Null ist dasselbe wie eine diskrete Teilmenge im Sinne von
3.4.7.
Übung 4.3.6 (Jede Untermanngifaltigkeit ist lokal ein Graph). Gegeben
eine k-dimensionale Untermanngifaltigkeit M ⊂ R n gibt es für jeden
Punkt p ∈ M eine offene Umgebung U ⊂◦ R n und eine Permutation σ ∈ Sn
derart, daß M ∩ U unter der entsprechenden Permutation der Koordinaten
dem Graph einer C 1 -Abbildung V → R n−k entspricht, die auf einer offenen
Teilmenge V ⊂◦ R k definiert ist. Zum Beispiel ist jede eindimensionale Untermannigfaltigkeit
der Ebene R 2 lokal entweder Graph einer reellwertigen
C 1 -Funktion der x-Koordinate oder der an der Hauptdiagonalen gespiegelte
Graph einer reellwertigen C 1 -Funktion der y-Koordinate.
Ergänzung 4.3.7. Eine kompakte Untermannigfaltigkeit der Dimension Eins
in R 3 heißt eine Verschlingung und, wenn sie zusätzlich wegzusammenhängend
ist, ein Knoten. Zwei Verschlingungen heißen isotop genau dann, wenn
sie durch einen C 1 -Diffeomorphismus R 3 ∼ → R 3 mit überall positiver Funktionaldeterminante
ineinander überführt werden können. Die “Knotentheorie”
versucht, Kriterien dafür zu entwickeln, wann zwei gegebene Verschlingungen
isotop sind.
4.3.8. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum. Spätestens mit 4.3.22
wird klar, daß für k, l ∈ N eine Teilmenge M ⊂ X nur dann sowohl eine kdimensionale
als auch eine l-dimensionale Untermannigfaltigkeit sein kann,
wenn entweder gilt k = l oder aber M = ∅. Jede nichtleere Untermannigfaltigkeit
hat also eine wohlbestimmte Dimension.
4.3.9. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum. Eine Untermannigfaltigkeit
der Dimension Eins von X heißt eine Kurve in X und eine Untermannigfaltigkeit
der Dimension Zwei eine Fläche. Gegeben k ≤ dim X
versteht man unter einer Untermannigfaltigkeit der Kodimension k eine
Untermannigfaltigkeit der Dimension (dim X) − k. Eine Untermannigfaltigkeit
der Kodimension Eins heißt eine Hyperfläche. Jede offene Teilmenge
einer Untermannigfaltigkeit ist selbst eine Untermannigfaltigkeit derselben
Dimension.
Proposition 4.3.10 (Untermannigfaltigkeiten als Urbilder). Seien X
und Y endlichdimensionale reelle Räume, U ⊂◦ X eine offene Teilmenge und
f : U → Y eine stetig differenzierbare Abbildung mit überall surjektivem
Differential. So ist für alle c ∈ Y das Urbild M = f −1 (c) eine Untermannigfaltigkeit
von X der Dimension dim X − dim Y.