Analysis

168 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
4. Für f, g : [a, b] → R stetig gilt b
a (f + g) = b
a f + b
a g.
5. Für f : [a, b] → R stetig und λ ∈ R gilt b
a λf = λ b
a f.
3.5.4. Die beiden letzten Punkte bedeuten in der Sprache der linearen Algebra,
daß das Integral eine Linearform auf dem reellen Vektorraum aller
stetigen reellwertigen Funktionen auf unserem kompakten Intervall ist, als
da heißt, eine lineare Abbildung in den Körper der reellen Zahlen.
Beweis. 1. Wir wissen ja schon, daß aus m = 1 ≤ f(x) ≤ 1 = M folgt
b − a ≤ b
f ≤ b − a.
a
2. Für Teilmengen A, B ⊂ R definiert man eine neue Teilmenge A + B ⊂ R
durch die Vorschrift A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B}. Offensichtlich gilt
I(f) = I(f|[a,z]) + I(f|[z,b])
Für beliebige nichtleere nach oben beschränkte Teilmengen A, B ⊂ R haben
wir aber sup(A + B) = sup A + sup B nach Übung 1.4.11.
3. Aus f ≤ g folgt offensichtlich I(f) ⊂ I(g).
4 & 5. Um die letzten beiden Aussagen zu zeigen, müssen wir etwas weiter
ausholen. Für unsere stetige Funktion f : [a, b] → R und beliebiges r ∈ N,
r ≥ 1 unterteilen wir unser Intervall äquidistant, lateinisierend für “mit
gleichen Abständen”, durch
a = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tr = b
Es gilt also ti = a+i(b−a)/r. Wir definieren nun die r-te Riemann-Summe
Sr (f) ∈ R durch die Vorschrift
S r r
r
(f) := f(ti)(ti − ti−1) =
i=1
i=1
f(ti)( b−a
r )
In der anschließenden Proposition 3.5.5 werden wir zeigen
b
a
f = lim
r→∞ S r (f)
Damit erhalten wir dann sofort
b
(f + g) = lim
a r→∞ Sr (f + g)
= lim (S
r→∞ r (f) + Sr (g))
und ähnlich folgt b
a λf = λ b
a f.
= lim
r→∞ S r f + lim
r→∞ S r g
= b
a f + b
a g