Analysis

872 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
mit der durch (p, v) ↦→ (φ(p), (dpφ)(v)) gegebenen unteren Horizontalen.
Übung 4.4.7 (Tangentialbündel eingebetteter Mannigfaltigkeiten). Ist
E ein endlichdimensionaler reeller Raum und X ⊂ E eine Untermannigfaltigkeit
und bezeichnet T ⊂ X ⊂ X × E das Tangentialbündel, wie es speziell
für Untermannigfaltigkeiten in IV.7.3.3 erklärt wurde, so liefern unsere Identifikationen
T ⊂ x X ∼ → TxX aus 4.3.9 auch einen Diffeomorphismus
T ⊂ X ∼ → TX
mit dem hier in voller Allgemeinheit für abstrakte Mannigfaltigkeiten erklärten
Tangentialbündel TX.
Definition 4.4.8. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit.
1. Ein “glattes Möchtegern-Bündel von reellen Vektorräumen” oder kurz
ein “Möchtegern-R-Bündel” E = (E, p) = (p : E → X) auf X ist ein
Datum bestehend aus einer glatten Mannigfaltigkeit E, seinem Totalraum,
einer glatten Abbildung p : E → X, seiner Projektion p, sowie
einer R-Vektorraumstruktur auf jeder Faser Ex = p −1 (x).
2. Ein Morphismus von einem Möchtegern-R-Bündel (E, p) in ein weiteres
(F, q) ist eine glatte Abbildung h : E → F mit qh = p derart, daß
für alle x ∈ X die auf den Fasern induzierte Abbildung h : Ex → Fx
linear ist.
3. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum V heißt der Raum
X×V mit seiner offensichtlichen Struktur als Möchtegern-R-Bündel das
triviale R-Bündel auf X mit Faser V .
4. Ein n-dimensionales R-Bündel auf X ist ein Möchtegern-R-Bündel
(E, p), bei dem jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung U besitzt derart, daß
das davon auf U induzierte Möchtegern-R-Bündel (p : p −1 (U) → U)
isomorph ist zum trivialen R-Bündel U × R n auf U. Ein solcher Isomorphismus
oder etwas allgemeiner auch ein Isomorphismus mit einem
R-Bündel der Gestalt U × V für einen beliebigen n-dimensionalen reellen
Vektorraum V heißt dann eine Bündelkarte. Eine Abbildung
U × V → E, die in diesem Sinne eine Bündelkarte auf ihr Bild liefert,
nennen wir kurzerhand auch eine Bündelkarte. Statt von R-Bündeln reden
wir oft auch ausführlicher von reellen glatten Vektorraumbündeln
oder noch kürzer Vektorbündeln und machen deren Dimension
nicht notwendig explizit.