Analysis

16. STEINBRUCH UND SCHROTTHALDE 1151
die in der Literatur gebräuchlichste Definition, nach der eine Mannigfaltigkeit
ein Hausdorff-Raum ist mit einem Atlas, dessen Kartenwechsel differenzierbar
sind.
Definition 16.3.7. Ein Tangentialvektor an eine d-Mannigfaltigkeit M
in einem Punkt x ∈ M ist eine Zuordnung v, die jeder Karte (W, ϕ) um x
einen Vektor v(W, ϕ) ∈ R d zuordnet derart, daß für je zwei Karten (W, ϕ)
und (V, ψ) mit ϕ(p) = x = ψ(q) gilt
dp(ψ −1 ◦ ϕ) : v(W, ϕ) ↦→ v(V, ψ)
Die Menge aller Tangentialvektoren an eine Mannigfaltigkeit M in einem
Punkt x bildet in offensichtlicher Weise einen R-Vektorraum, den Tangentialraum
TxM der Mannigfaltigkeit M bei x.
16.3.8. Offensichtlich liefert für jede d-Mannigfaltigkeit M und jede Karte
(W, ϕ) um einen Punkt x ∈ M die Zuordnung v ↦→ v(W, ϕ) einen Isomorphismus
i(W,ϕ) : TxM ∼ → R d
Übung 16.3.9. Ist E ein endlichdimensionaler Vektorraum, so erhalten wir
für alle x ∈ E einen kanonischen Isomorphismus E ∼ → TxE, indem wir jedem
Vektor e ∈ E den Tangentialvektor (W, ϕ) ↦→ (dx(ϕ −1 ))(e) zuordnen.
Lemma 16.3.10. Gegeben eine differenzierbare Abbildung von Mannigfaltigkeiten
f : M → N und ein Punkt x ∈ M gibt es genau eine R-lineare
Abbildung, die Tangentialabbildung
mit der folgenden Eigenschaft: Ist
dxf : TxM → Tf(x)N
M f → N
ϕ ↑ ↑ ψ
W ˜ f → V
ein kommutatives Diagramm mit Karten als vertikalen Abbildungen und gilt
ϕ(˜x) = x für ein ˜x ∈ W, so kommutiert das Diagramm
dxf
→ Tf(x)N
TxM
i(W,ϕ)≀ ↓ ↓ ≀i(V,ψ)
R d
d˜x ˜ f
→ R k
wobei in der unteren Horizontalen unser übliches Differential aus ?? gemeint
ist.