Analysis

214 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Diese Potenzreihe hinwiederum kann man ganz allgemein für jede in einer
Umgebung des Nullpunkts beliebig oft differenzierbare Funktion erklären. Sie
heißt dann die Taylorreihe besagter Funktion oder genauer ihre Taylorreihe
am Nullpunkt, muß aber keineswegs positiven Konvergenzradius haben
und muß, selbst wenn sie positiven Konvergenzradius hat, keineswegs gegen
besagte Funktion konvergieren. Zum Beispiel hat nach 4.2.11 die Funktion
f(x) =
e −1/x x > 0
0 x ≤ 0
im Nullpunkt die Ableitungen f (ν) (0) = 0 ∀ν ≥ 0, aber es gilt dennoch
f(x) > 0 für x > 0. Inwiefern die Taylorreihe dennoch unsere Funktion recht
gut approximiert, erklären wir in 5.2.
Definition 5.1.18 (Verallgemeinerte Binomialkoeffizienten). Für α ∈
R und k ∈ N setzen wir
α α(α − 1) . . . (α − k + 1)
α
:= falls k ≥ 1 und := 1.
k k(k − 1) . . . 1
0
Proposition 5.1.19 (Binomische Reihe). Für |x| < 1 und α ∈ R gilt
(1 + x) α ∞
α
= x
k
k
5.1.20. Sobald wir komplexe Zahlen und in III.1.4.3 komplexe Exponenten
eingeführt haben, wird der Leser erkennen, daß die Proposition mit demselben
Beweis auch für x, α ∈ C gilt, vergleiche VIII.1.7.15. Aus unseren
Überlegungen in 5.1.17 folgt auch unmittelbar, daß die Koeffizienten einer
Potenzreihenentwicklung von (1 + x) α , wenn es sie denn gibt, notwendig die
verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sein müssen. Daß es aber eine derartige
Entwicklung auch wirklich gibt, muß noch gezeigt werden. Also an die
Arbeit!
Beweis. Für α ∈ Z≥−1 kennen wir diese Formel schon: Im Fall α ∈ N gilt
α
= 0 falls k > α und wir erhalten einen Spezialfall der binomischen Formel
k
I.3.4.6. Im Fall α = −1 gilt α
k = (−1) und wir erhalten die geometrische
k
Reihe 2.5.5 für −x. Unter der Annahme α ∈ N sagt uns das Quotientenkriterium,
daß die Potenzreihe rechts für |x| < 1 konvergiert, sagen wir gegen
die Funktion f : (−1, 1) → R. Ich behaupte (1 + x)f ′ (x) = αf(x). Das
prüft man durch gliedweises Differenzieren der binomischen Reihe mithilfe
der Beziehung
α − 1 α − 1 α
+ =
k k − 1 k
k=0