Analysis

3. WEGINTEGRALE 413
des Hyperbelastes mit y > 0. Diesen Ast können wir nach II.4.7.6 auch
parametrisieren durch ϕ : (−1, 1) → R2 mit
2τ
ϕ(τ) =
τ 2 2 1 + τ
,
− 1 1 − τ 2
und bei dieser Parametrisierung führt uns unser Wegintegral ganz offensichtlich
auf das Integral einer rationalen Funktion in τ, das wir nach III.1.4 im
Prinzip durch bekannte Funktionen ausdrücken können.
Satz 3.3.14 (Wegintegral über ein Differential). Ist X ein endlichdimensionaler
reeller Raum, A ⊂ X eine halboffene Teilmenge, f : A → R eine
stetig differenzierbare Funktion und γ : [a, b] → A ein stetig differenzierbarer
Weg in A, so gilt
γ
df = f(γ(b)) − f(γ(a))
Beweis. Es gilt
γ df = b
a γ∗ (df) = b
d(f ◦ γ) = f(γ(b)) − f(γ(a)) nach
a
3.3.3, 3.1.19 und 3.3.2.
3.3.15. Wir interessieren uns nun für die Frage, unter welchen Bedingungen
ein stetiges Kovektorfeld das Differential einer Funktion ist, und inwieweit
diese Funktion eindeutig bestimmt ist. Diese Fragen werden nach einigen
Vorbereitungen durch 3.6.1 und 3.4.6 beantwortet.
Ergänzung 3.3.16. Seien X ein endlichdimensionaler reeller Raum, W ein
endlichdimensionaler reeller Vektorraum und A ⊂ X eine halboffene Teilmenge.
Ein W -wertiges Kovektorfeld auf A ist eine Abbildung
ω : A → HomR( X, W )
Sie ordnet also jedem Punkt p ∈ A eine lineare Abbildung des Richtungsraums
in den Raum W zu. Ist etwa Y ein weiterer endlichdimensionaler
reeller Raum und A halboffen und f : A → Y differenzierbar, so ist df oder
genauer p ↦→ dpf ein Y -wertiges Kovektorfeld auf A. Ist nun ϕ : [a, b] → A
ein stetig differenzierbarer Weg in einer halboffenen Teilmenge A eines endlichdimensionalen
reellen Raums X und ω : A → HomR( X, W ) ein stetiges
Kovektorfeld auf A mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
W, so definieren wir in Verallgemeinerung des Falls reellwertiger Kovektorfelder
aus 3.3 einen Vektor (
ω) ∈ W, das Integral des W -wertigen
ϕ
Kovektorfelds ω längs des Weges ϕ, durch die Vorschrift
b
ω = ωϕ(t) (ϕ ′ (t)) dt
ϕ
a