Analysis

1156 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
17 Radonmaße und Haar’sche Maße
17.1 Stetige Funktionen auf topologischen Räumen
Definition 17.1.1. Ein topologischer Raum heißt T4 genau dann, wenn sich
je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen unseres Raums zu disjunkten
offenen Teilmengen vergrößern lassen. Ein topologischer Raum heißt normal
genau dann, wenn er T4 und Hausdorff ist.
Ergänzung 17.1.2. Die Bezeichnung T4 steht für das vierte Trennungsaxiom.
Das Trennungsaxiom T2 ist synonym zu Hausdorff. Die Trennungsaxiome
T0 und T3 spielen für uns keine Rolle.
Beispiel 17.1.3. Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal, siehe 3.3.14.
Lemma 17.1.4. Jeder metrische Raum ist normal.
Beweis. Sei (X, d) unser metrischer Raum. Gegeben Y, Z ⊂ V X disjunkte
abgeschlossene Teilmengen sind sicher U = {x ∈ X | d(Y, x) < d(Z, x)} und
V = {x ∈ X | d(Z, x) < d(Y, x)} disjunkte offene Teilmengen mit U ⊃ Y
und V ⊃ Z, wo wir für A ⊂ X die Notation d(A, x) = inf{d(y, x) | y ∈ A}
verwenden nebst der Erkenntnis II.6.2.22, daß die Abbildung x ↦→ d(A, x)
stets stetig ist.
Satz 17.1.5 (Tietze’s Erweiterungslemma). Jede stetige Abbildung von
einer abgeschlossenen Teilmenge eines normalen Raums in ein nichtleeres
reelles Intervall läßt sich fortsetzen zu einer stetigen Abbildung des ganzen
Raums in besagtes Intervall.
17.1.6. Wir behandeln zunächst als speziellsten Spezialfall das sogenannte
Lemma von Urysohn und im Anschluß den Fall der Intervalle [0, 1] und [0, 1).
Der allgemeine Fall bleibt von da an dem Leser überlassen.
Lemma 17.1.7 (von Urysohn). Gegeben ein normaler Raum X und disjunkte
abgeschlossene Teilmengen A, B ⊂ X gibt es stets eine stetige Funktion
f : X → [0, 1] mit f|A = 0 und f|B = 1.
Beispiel 17.1.8. Im Fall eines metrischen Raums ist das leicht zu sehen: Die
Abbildung
g : X → R 2
x ↦→ (d(A, x), d(B, x))
ist in diesem Fall nämlich stetig mit Werten im ersten Quadranten ohne
Ursprung, in Formeln mit Werten in Q = (R≥0) 2 \(0, 0). Ist nun h : Q →
[0, 1] eine stetige Abbildung derart, daß h auf der Achse R>0 × 0 konstant
Eins ist und auf der Achse 0 × R>0 konstant Null, so ist die Abbildung
f = h ◦ g : X → [0, 1] stetig mit f|A = 0 und f|B = 1.