Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 547
|∂tf(x, t)| für alle x und t, so ist x ↦→ ∂tf(x, t) integrierbar für alle t und es
gilt
f(x, t) µ〈x〉 = ∂tf(x, t) µ〈x〉
∂t
Hinweis: Dominierte Konvergenz 6.5.10 und Mittelwertsatz.
Übung 6.5.15 (Integrale unter Bildmaßen). Man zeige, daß das Integrieren
Verwandschaft respektiert. Sind genauer φ : X → Y eine meßbare Abbildung
von Meßräumen, µ, ν verwandte Maße, in Formeln φ : µ ❀ ν, und g, f
verwandte meßbare Funktionen nach [0, ∞], in Formeln φ : g ❀ f, so gilt
g(x) µ〈x〉 = f(y) ν〈y〉
X
Wir können dieselbe Aussage auch wie folgt formulieren: Gegeben Meßräume
X, Y , eine meßbare Abbildung φ : X → Y , eine meßbare Abbildung f : Y →
[0, ∞] und ein Maß µ auf X gilt
f(φ(x)) µ〈x〉 = f(y) (φ∗µ)〈y〉
X
Weiter ist eine reellwertige meßbare Funktion f : Y → R integrierbar in
Bezug auf φ∗µ genau dann, wenn f ◦ φ integrierbar ist in Bezug auf µ, und
unter dieser Voraussetzung gilt dieselbe Gleichung in R.
Übung 6.5.16 (Satz von Beppo Levi). Sei fn eine monoton wachsende
Folge integrierbarer Funktionen. Ist die Folge ihrer Integrale beschränkt, so
ist die Menge N aller x ∈ X mit limn→∞ fn(x) = ∞ meßbar vom Maß Null
und die Funktion f = limn→∞ fn
: (X\N) → R ist integrierbar mit Integral
f = limn→∞ fn.
Übung 6.5.17. Sei Q = [a, b] × [c, d] ⊂ R 2 ein nichtleerer kompakter zweidimensionaler
Quader und f : R 2 → R eine stetige Funktion mit Träger in
Q. Sei weiter µ ein Borelmaß auf R 2 . Für r ≥ 1 definieren wir dann die r-te
Riemannsumme S r (f; µ) von f wie folgt: Wir betrachten die äquidistanten
Unterteilungen
a = a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ar = b
c = c0 ≤ c1 ≤ . . . ≤ cr = d
der Kanten unseres Rechtecks, erhalten auf diese Weise r 2 klitzekleine halboffene
Rechtecke Q i,j = [ai, ai+1) × [cj, cj+1) und setzen
S r (f; µ) =
Y
Y
r−1
f(ai, cj)µ(Q i,j)
i,j=0