Analysis

328 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
β cos(ωt) der Funktionen cos(ωt) und sin(ωt) als Sinuswelle mit Amplitude
k und Phase φ in der Form
α sin(ωt) + β cos(ωt) = k sin(ωt + φ)
schreiben läßt, für k = α 2 + β 2 und φ einer Lösung des Gleichungssystems
k cos φ = α und k sin φ = β. Im Fall kleiner Dämpfung kann die allgemeine
Lösung also geschrieben werden als x(t) = k e −at/2 sin(ωt + φ) und beschreibt
eine Schwingung, deren Amplitude bei positiver Dämpfung a > 0 exponentiell
abfällt.
2.1.9. Man kann ohne Schwierigkeiten die Exponentialabbildung auf quadratischen
Matrizen ins Komplexe erweitern zu
exp : M(n × n; C) → M(n × n; C)
A ↦→ ∞
k=0
1
k! Ak
Satz 2.1.10 (Lineare Differentialgleichungen). Ist A ∈ M(n × n; C)
eine quadratische Matrix und c ∈ C n ein Spaltenvektor, so gibt es genau eine
differenzierbare Abbildung γ : R → C n mit Anfangswert γ(0) = c derart, daß
gilt ˙γ(t) = Aγ(t) für alle t ∈ R, und diese Abbildung wird gegeben durch die
Vorschrift
γ(t) = exp(tA)c
Beweis. Mutatis mutandis, als da heißt nach Verändern des zu Verändernden
identisch zum Beweis von II.7.4.9.
Korollar 2.1.11 (Anfangswertisomorphismus). Ist A ∈ M(n×n; C) eine
quadratische Matrix, so bilden die differenzierbaren Abbildungen γ : R → C n
mit ˙γ(t) = Aγ(t) ∀t ∈ R einen komplexen Untervektorraum L ⊂ Ens(R, C n )
und an jeder Stelle liefert das Auswerten einen Isomorphismus L ∼ → C n .
Beweis. Dem Leser überlassen. Im Reellen war das Übung II.7.4.13.
Ergänzung 2.1.12. Die Regel exp(P AP −1 ) = P (exp A)P −1 aus II.7.5.28 gilt
genauso für komplexe Matrizen. Die Berechnung des Exponentials einer beliebigen
quadratischen Matrix wird Ihnen auf dieser Grundlage leicht gelingen,
sobald sie in der linearen Algebra die Theorie der “Jordan’schen Normalform”
?? kennengelernt haben.
Übung 2.1.13. Ist A ∈ M(n × n; R) eine reelle Matrix und γ : R → C n
eine komplexe Lösung der Differentialgleichung ˙γ(t) = Aγ(t), so sind ihr
koordinatenweise gebildeter Real- und Imaginärteil Re γ und Im γ reelle Lösungen.
Erzeugt eine Menge C n -wertiger Funktionen den C-Vektorraum der
C n -wertigen Lösungen unserer Differentialgleichung, so erzeugen ihre Realund
Imaginärteile zusammen den R-Vektorraum der R n -wertigen Lösungen.