Analysis

1. MATRIX-LIEGRUPPEN 765
Satz 1.1.17 (Einfache Darstellungen der räumlichen Drehgruppe).
Die einfachen endlichdimensionalen stetigen komplexen Darstellungen der
räumlichen Drehgruppe werden klassifiziert durch ihre Dimension. Genauer
liefert die Dimension eine Bijektion mit den ungeraden natürlichen Zahlen
⎧
⎨
⎩
Einfache endlichdimensionale komplexe
Darstellungen der Drehgruppe SO(3),
bis auf Isomorphismus
⎫
⎬
⎭
∼
→ {1, 3, 5, . . .}
1.1.18. Der Satz gilt analog auch für die einfachen reellen Darstellungen der
räumlichen Drehgruppe. Die einfache Darstellung der Dimension 1 ist die
triviale Darstellung und die einfache reelle Darstellung der Dimension 3 die
Standarddarstellung SO(3) ↩→ GL(3; R) bzw. SO(3) ↩→ GL(3; C). Die einfache
reelle Darstellung der Dimension 5 kann man konstruieren als den Raum
aller symmetrischen Matrizen mit Spur Null unter der durch die Konjugation
gegebenen Operation. Der Beweis des Satzes wird erst in 2.2.12 gegeben.
Ergänzung 1.1.19. Insbesondere beinhaltet der vorhergehende Satz die Behauptung,
daß jeder stetige Gruppenhomomorphismus ρ : SO(3) → C × konstant
ist. Will man das explizit einsehen, kann man zum Beispiel argumentieren
wie folgt: Wir erhalten ja für jeden von Null verschiedenen Vektor
v ∈ R 3 \0 eine Einbettung ϕv : SO(2) ↩→ SO(3), indem wir etwa jeder ebenen
Drehung in geeigneter Weise eine räumliche Drehung um die entsprechende
Achse zuordnen. In Formeln können wir von ϕe3(A) := diag(A, 1) ausgehen
und ϕv so finden, daß gilt gϕvg −1 = ϕgv für alle v ∈ R 3 und g ∈ SO(3). Der
Einfachkeit der Notation halber wählen wir einen festen stetigen Isomorphismus
S 1 ∼ → SO(2) und fassen unsere Abbildungen so als stetige Gruppenhomomorphismen
ϕv : S 1 ↩→ SO(3) auf. Nach V.1.6.4 gibt es für jedes v ein
n = n(v) ∈ Z mit
ρ(ϕv(z)) = z n ∀z ∈ S 1
Andererseits gibt es eine Drehung g ∈ SO(3) mit g(v) = −v, und für diese
Drehung gilt gϕv(z)g −1 = ϕv(z) −1 für alle z ∈ S 1 . Wenden wir auf diese
Identität ρ an, so folgt für alle z ∈ S 1 die von der Mitte aus zu entwickelnde
Identität
z n = ρ(ϕv(z)) = ρ(gϕv(z)g −1 ) = ρ(ϕv(z) −1 ) = z −n
und wir finden erst n(v) = 0 für alle v, und mithilfe des “Satzes vom Fußball”
?? dann, daß ρ konstant sein muß.
Übung 1.1.20. Gegeben ein Gruppenhomomorphismus H → G können wir
jede Darstellung V von G zurückziehen zu einer Darstellung resH G V von H.
Man zeige, daß wir beim Zurückziehen mit einem inneren Automorphismus
G → G eine zur ursprünglichen Darstellung isomorphe Darstellung erhalten.