Analysis

1162 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Satz von Dini II.6.10.9, der besagt, daß auf einem Kompaktum jede monotone
Folge stetiger reellwertiger Funktionen, die punktweise gegen eine stetige
Funktion konvergiert, bereits gleichmäßig konvergieren muß. Jede nichtnegative
Linearform auf Cc(X, R) liefert so erst ein Prämaß auf G und mit dem
Erweiterungssatz von Caratheodory IV.6.2.10 dann ein topologisches Maß πΛ
auf X × R. Wir erhalten schließlich ein topologisches Maß µΛ auf X, indem
wir für jede topologisch meßbare Teilmenge A ⊂ X setzen
µΛ(A) = πΛ(A × [0, 1))
Dieses Maß µΛ ist endlich auf Kompakta, da wir nach 17.1.9 für jedes Kompaktum
K die konstante Funktion Eins auf K zu einer stetigen Funktion
mit kompaktem Träger h : X → [0, ∞) ausdehnen können, und aus
K × [0, 1) ⊂ G(h) folgt dann sofort µΛ(K) ≤ Λ(h). Damit haben wir zu
unserer durch das Integrieren erklärten Abbildung im Darstellungssatz eine
Abbildung in die Gegenrichtung konstruiert, der man ohne Schwierigkeiten
ansieht, daß sie eine Rechtsinverse ist, in Formeln fµΛ = Λ(f). Es bleibt also
nur noch zu zeigen, daß die Abbildung aus unserem Satz injektiv ist, als da
heißt, daß verschiedene Borel-Maße µ = ν auf X auch verschiedene Funktionale
auf Cc(X, R) liefern. Sicher liefern sie verschiedene Maße µ ⊠ λ = ν ⊠ λ
auf X × R und wegen der Eindeutigkeitsaussage im Maßerweiterungssatz
IV.6.2.10 nehmen sie dann auch auf mindestens einer Menge G ∈ G verschiedene
Werte an. Mit Fubini folgt daraus aber, daß µ und ν verschieden sind
auf fG ∈ Cc(X, R).
Übung 17.2.7. Jedes signierte Radon-Maß auf einem lokal kompakten Hausdorffraum
ist die Differenz von zwei nichtnegativen Radon-Maßen. Hinweis:
Man orientiert sich an den Hinweisen zu V.3.5.5.
Übung 17.2.8. Gegeben ein lokal kompakter separabler Hausdorff-Raum X
liefert das Bilden des Produkts mit dem Lebesgue-Maß eine Bijektion
{Borel-Maße auf X} ∼ → {translationsinvariante Borel-Maße auf X × R}
17.2.9. Die von einem endlichen System (Aλ)λ∈Λ von Teilmengen einer gegebenen
Menge X erzeugte Mengenalgebra kann man beschreiben als das
System aller Mengen, die man erhält, wenn man erst für alle I ⊂ Λ die
paarweise disjunkten Mengen
A(I) =
Aλ ∩
(X\Aλ) =
Aλ\
λ∈I
λ∈I
bildet und dann Vereinigungen derartiger A(I) nimmt. Nimmt man Vereinigungen
derartiger A(I) mit I = ∅, so ergibt sich der von den Aλ erzeugte Mengenring.
Die von einem beliebigen System von Teilmengen einer gegebenen
λ∈I
λ∈I
Aλ