Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 851
3.11 Separierte Abbildungen*
Definition 3.11.1. Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt separiert
genau dann, wenn die Diagonale X ⊂ X ×Y X abgeschlossen ist.
Beispiele 3.11.2. Die konstante Abbildung von einem topologischen Raum auf
einen Punkt ist nach 3.6.7 separiert genau dann, wenn der fragliche Raum
Hausdorff alias separiert ist. Jede topologische Einbettung ist separiert. Ist
in einem kartesischen Diagramm topologischer Räume ein Ursprungspfeil separiert,
so auch der gegenüberliegende Pfeil aus dem Faserprodukt.
Definition 3.11.3. Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt relativ
Hausdorff genau dann, wenn je zwei verschiedene Punkte unserer Teilmenge
disjunkte Umgebungen im ursprünglichen Raum besitzen.
Übung 3.11.4. Eine stetige Abbildung ist separiert genau dann, wenn alle
ihre Fasern relativ Hausdorff’sch sind im Sinne von 3.11.3. Jede Verknüpfung
separierter Abbildungen ist separiert.
Lemma 3.11.5. Ist f ◦ g eigentlich und f separiert, so ist auch g eigentlich.
3.11.6. Landet f in einem Punkt, so spezialisiert dieses Lemma zu der aus
3.3 bekannten Aussage, daß stetige Bilder von Kompakta in Hausdorffräumen
abgeschlossen sind.
Beweis. Seien g : Z → X und f : X → Y . Wir betrachten zum Morphismus
g das in Top Y kartesische Diagramm
Z
Z ×Y X
·
X
X ×Y X
aus ?? und sehen, daß mit der diagonalen Einbettung X ↩→ X ×Y X auch
die Abbildung (id, g) : Z → Z ×Y X eine abgeschlossene Einbettung ist.
Der Morphismus g ergibt sich als deren Verknüpfung mit dem eigentlichen
Morphismus Z ×Y X → X.
Lemma 3.11.7. Eine stetige Abbildung zwischen lokal kompakten Hausdorffräumen
ist eigentlich genau dann, wenn das Urbild jedes Kompaktums kompakt
ist.
Beweis. Daß Urbilder von Kompakta unter eigentlichen Abbildungen stets
kompakt sind, haben wir bereits in 3.10.6 gesehen. Daß eine stetige Abbildung
von kompakten Hausdorffräumen eigentlich ist, folgt aus 3.11.5 und 3.10.3.
Das Lemma folgt damit aus 3.10.4 und 3.10.6.