Analysis

1. MATRIX-LIEGRUPPEN 791
ϕ genau die Menge der Fixpunkte des Differentials deϕ in der Liealgebra, in
Formeln
Lie(G ϕ ) = (Lie G) deϕ
Mit 4.6.23 wird dasselbe auch allgemeiner für abstrakte Liegruppen, vergleiche
etwa ??.
1.6.17. Die wichtigsten Methoden zur Berechnung von Liealgebren sind für
uns Bemerkung 1.5.12, die beiden vorhergehenden Übungen sowie 2.1.10.
1.7 Drehgruppe und Spingruppe
Proposition 1.7.1 (Drehgruppe und Spingruppe). Es gibt einen stetigen
surjektiven Gruppenhomomorphismus SU(2) ↠ SO(3) mit Kern {± id}.
Übung 1.7.2. Folgern Sie aus der Proposition, daß jeder stetige Gruppenhomomorphismus
SU(2) → SO(3) konstant oder surjektiv ist, und daß es für
je zwei stetige surjektive Gruppenhomomorphismen φ, ψ ein g ∈ SO(3) gibt
mit φ = (int g) ◦ ψ.
Beweis. Wir betrachten die adjungierte Darstellung der Spingruppe SU(2).
Sie ist eine dreidimensionale reelle Unterdarstellung der Darstellung von
SU(2) auf Mat(2 × 2; C) durch Konjugation, und die Elemente dieser Unterdarstellung
erzeugen zusammen mit der Einheitsmatrix ganz Mat(2 × 2; C)
als komplexen Vektorraum. Der Kern unserer adjungierten Darstellung besteht
folglich genau aus den Matrizen aus SU(2), die mit allen Matrizen von
Mat(2 × 2; C) kommutieren, und das ist eben der Schnitt der Vielfachen der
Einheitsmatrix mit unserer Gruppe SU(2) alias die Untergruppe {± id}. Auf
dem Raum su(2) := Lie SU(2) aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur
Null definiert aber nun die Vorschrift (A, B) ↦→ tr(AB) eine negativ definite
symmetrische Bilinearform, wie man leicht nachrechnet, die offensichtlich unter
allen Konjugationen invariant ist. Versehen wir su(2) mit dem Negativen
dieser Bilinearform als Skalarprodukt, so liefert die adjungierte Darstellung
also einen Gruppenhomomorphismus
Ad : SU(2) → O(su(2))
mit Kern {± id}. Da SU(2) zusammenhängend ist, muß dieser Gruppenhomomorphismus
bereits in SO(su(2)) landen, und da der Kern diskret ist,
muß unser Gruppenhomomorphismus nach ?? eine injektive Abbildung auf
den Lie-Algebren induzieren. Nach Dimensionsvergleich muß diese injektive
Abbildung dann sogar ein Isomorphismus sein, so daß nach 1.6.8 das Bild
von Ad eine Umgebung des neutralen Elements umfaßt. Da aber SO(su(2))
zusammenhängend ist, muß folglich Ad bereits surjektiv sein.