Analysis

1212 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
steht, da nämlich für das offensichtliche 〈〈m 2 〉〉-wertige Skalarprodukt auf dem
Richtungsraum E 2 = E × E des Raums E 2 das Skalarprodukt dieses Vektors
mit allen weiteren Vektoren dasselbe ist wie die Hälfte des Wertes von drN
auf den fraglichen weiteren Vektoren. Definieren wir nun zusätzlich auf E 2
das massebehaftete Skalarprodukt
〈 , 〉m : E 2 × E 2 → 〈〈gm 2 〉〉
durch 〈(r1, r2), (s1, s2)〉m = m1〈r1, s1〉 + m2〈r2, s2〉, so wird das bezüglich
dieses massebehafteten Skalarprodukts orthogonale Komplement von TrM
aufgespannt von ((r1 − r2)/m1, (r2 − r1)/m2). Dieser Vektor liegt zwar eigentlich
von seinen Einheiten her in E 2 ⊗ M ∗ , aber da es uns eh nur auf seine
Richtung ankommt, dürfen wir das ignorieren. Wir sehen so, daß unsere Bewegungsgleichungen
zusammengefaßt werden können zur Bedingung
¨γ(t) ⊥m Tγ(t)M
wobei ⊥m das Senkrechtstehen in Bezug auf das massebehaftete Skalarprodukt
meint. In mathematischer Terminologie sind die möglichen Bewegungen
also gerade die verallgemeinerten Geodäten auf M in Bezug auf unser
massebehaftetes Skalarprodukt. Wirken zusätzlich noch externe Kräfte, sind
etwa unsere Massepunkte elektrisch geladen und bewegt sich unsere Hantel
in einem Raum mit einem elektrischen Feld und einem Gravitationsfeld, beschreiben
etwa F1, F2 : E → E ⊗ 〈〈g/s 2 〉〉 die auf die jeweiligen Massepunkte
wirkenden externen Kräfte, so bilden wir die “massebereinigte externe Gesamtkraft”
Q : E 2 → E 2 ⊗ 〈〈1/s 2 〉〉
mit Q(r1, r2) = (F1(r1)/m1, F2(r2)/m2), und unsere Bewegungsgleichungen
an γ : I → M erhalten allgemeiner die Gestalt
¨γ(t) − Q(γ(t)) ⊥m Tγ(t)M
3.3.3. Nun betrachten wir den allgemeinen Fall eines Systems von N Massepunkten
der Massen m1, . . . , mN, deren Bewegung in der Weise eingeschränkt
sei, daß die Zusammenfassung ihrer Orte (r1, . . . , rN) ∈ E N sich stets auf einer
fest vorgegebenen Untermannigfaltigkeit M ⊂ E N befindet. Man mag
hier etwa an unsere Hantel aus Beispiel 3.3.2, an unser Seifenstück im Tank
aus Beispiel 3.3.1, an ein Doppelpendel, und noch an vieles andere mehr
denken. Auch dieser Allgemeinheit haben unsere Bewegungsgleichungen an
γ : I → M die Form
¨γ(t) − Q(γ(t)) ⊥m Tγ(t)M