Analysis

1178 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
1 Steinbruch-Halde
1.1 Gliederung der Darstellungstheorie
1.1.1. Eine Darstellung einer Gruppe G ist ein Paar (V, ρ) bestehend aus
einem Vektorraum und einem Gruppenhomomorphismus ρ : G → GL(V ).
Ist der Vektorraum definiert über einem Körper positiver Charakteristik, so
spricht man von einer modularen Darstellung. Oft tragen die Gruppe oder
der Vektorraum hier noch zusätzliche Strukturen und von besagtem Gruppenhomomorphismus
wird eine gewisse Verträglichkeit mit diesen Strukturen
gefordert. Die am meisten untersuchten Fälle diskutiere ich im folgenden etwas
ausführlicher.
1.1.2. Ist G eine topologische Gruppe und unser Vektorraum ein topologischer
Vektorraum über einem topologischen Körper und ist zusätzlich die
durch ρ definierte Abbildung G × V → V stetig, so spricht man von einer
stetigen Darstellung. Besonders wichtig ist die Variante der unitären
Darstellung, bei der die Gruppe durch unitäre Automorphismen stetig auf
einem Hilbertraum operiert.
1.1.3. Ist G eine algebraische Gruppe und V definiert über demselben Körper
wie G und ist V Vereinigung von endlichdimensionalen unter G stabilen
Teilräumen U, für die jeweils die von ρ definierte Abbildung G × U → U
algebraisch ist, so heißt ρ eine rationale Darstellung.
1.1.4. In allen diesen Situationen sind die Grundfragen dieselben, und zwar:
1. Wie sehen die irreduziblen Darstellungen aus, also diejenigen von Null
verschiedenen Darstellungen, in denen es außer dem Nullraum keine
echten, im topologischen Fall keine echten abgeschlossenen, unter der
Gruppenoperation invarianten Teilräume gibt?
2. Wie kann eine allgemeine Darstellung im Prinzip aus irreduziblen Darstellungen
aufgebaut werden?
3. Wie sind gewisse “natürlich gegebene” Darstellungen aus irreduziblen
Darstellungen aufgebaut?
1.1.5. Die Antworten hängen wesentlich von der betrachteten Gruppe ab.
Für diesen groben Überblick sortieren wir unsere Gruppen wie folgt: