Analysis

5. VEKTORRAUMBÜNDEL UND FELDER 935
weiter nach exp(X) exp(Y ), so liegen die Geschwindigkeitsvektoren beider
Wege an jeder Stelle in unserer Distribution Dh, was die Behauptung zeigt.
Andererseits gibt es eine offene Umgebung A⊂◦ W des neutralen Elements mit
exp(V )∩A = {p ∈ A | xd+1(p) = . . . = xn(p) = 0}. Wählen wir U ⊂◦ A hinreichend
klein, so können wir sicher erreichen, daß gilt (exp(V ) ∩ U)(exp(V ) ∩
U) ⊂ A und damit nach dem vorhergehenden (exp(V ) ∩ U)(exp(V ) ∩ U) ⊂
exp(V ). Man erkennt damit, daß exp(V ) ⊂ G in der Tat eine partielle Lie-
Untergruppe ist.
Satz 5.9.5 (Unter-Liegruppen zu Unter-Liealgebren). Gegeben eine
Liegruppe G und eine Unter-Liealgebra h ⊂ Lie G gibt es auf der von (exp h)
erzeugten Untergruppe H = 〈exp h〉 ⊂ G genau eine Struktur als Liegruppe
derart, daß die Injektion H ↩→ G ein glatter Gruppenhomomorphismus ist
und ihr Differential beim neutralen Element einen Isomorphismus von Lie-
Algebren Lie H ∼ → h induziert.
5.9.6. Man beachte, daß wir keineswegs fordern, daß H die von G induzierte
Topologie trägt. Etwa im Fall, daß G ein kompakter Torus ist, kann das ja
auch keineswegs erwartet werden.
Beweis. Wir finden eine offene konvexe Umgebung des Ursprungs V ⊂◦ h wie
in 5.9.4, so daß also exp(V ) exp(V ) in einer Umgebung W des neutralen
Elements mit der Distribution Dh angepaßten Koordinaten (x1, . . . , xn) :
W ∼ → (−1, 1) n landet. Dann versehen wir H mit der finalen Struktur eines
R-geringten Raums zur Familie der Abbildungen
(h·) ◦ exp : V → H
für h ∈ H. Der Rest des Arguments kann dem Leser überlassen bleiben.
5.9.7. Ich sollte diskutieren, unter welchen Umständen sich ein Liealgebrenhomomorphismus
von der Liealgebra einer Liegruppe in die glatten Vektorfelder
einer Mannigfaltigkeit zu einer Gruppenoperation integrieren läßt. Das
sollte doch wohl möglich sein, wenn alle Integralkurven der Vektorfelder aus
dem Bild auf ganz R definiert sind und außerdem unsere Liegruppe einfach
zusammenhängend ist.