Analysis

1262 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
unserem Fall haben wir etwa ein Diagramm aus Bijektionen
t η τ
R → Z ← R
↘ γ ↓ γ ↙
K
bei dem wir alle Pfeile nach unten mit γ bezeichnen, wobei wir jedoch links
die Parametrisierung nach der Zeitkoordinate t unseres Koordinatensystems
meinen, in der Mitte die Parametrisierung nach der Eigenzeit η und rechts
diejenige Parametrisierung nach τ ∈ R, die dadurch bestimmt ist, daß die
obere rechte Horizontale gerade die Multiplikation mit der durch (0, 0, 0, 1)
gegebenen relativistischen Zeiteinheit s ∈ Z sein soll. So wird Verknüpfung
von rechts nach links in der oberen Horizontale eine Umparametrisierung
durch R → R, τ ↦→ t mit der Eigenschaft, daß für ˙x etc. die Ableitung nach
t und x ′ etc. die Ableitung nach τ stets (x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) in derselben Bahn liegt
wie (0, 0, 0, 1), daß also gilt
˙x 2 t ′2 + ˙y 2 t ′2 + ˙z 2 t ′2 − c 2 t ′2 = −c 2
und wegen t ′ > 0 ist das gleichbedeutend zu
t ′
= 1 − ˙x2 + ˙y 2 + ˙z 2
c2 −1/2 Betrachten wir also in unserem Koordinatensystem die klassische Geschwindigkeit
v = ( ˙x, ˙y, ˙z), so haben wir t ′ = (1 − v 2 /c 2 ) −1/2 und der sogenannte
relativistische Impuls
p = mv/ 1 − v 2 /c 2
kann auch verstanden werden als der Vektor der ersten drei Komponenten
der Ableitung nach der Eigenzeit p = m(x ′ , y ′ , z ′ ). Wir erhalten so auf der
einen Seite unserer Bewegungsgleichung
mγ ′′
˙p ′ t
=
m t ′′
= m d2 τγ
(dτ) 2
Nun schreiben wir die andere Seite in Koordinaten. Unser elektromagnetisches
Feld F können wir in unserem Koordinatensystem schreiben in der
Gestalt
F = E 1 dx ∧ dt + E 2 dy ∧ dt + E 3 dz ∧ dt
+B 1 dy ∧ dz + B 2 dz ∧ dx + B 3 dx ∧ dy