Analysis

3. ALGEBRAISCHE GRUNDBEGRIFFE 73
Ergänzende Übung 3.3.15. Gegeben eine Verknüpfung A×A → A, (a, b) ↦→ ab
auf einer Menge erklärt man die opponierte Verknüpfung durch die Vorschrift
(a, b) ↦→ ba. Oft schreibt man auch A opp oder A ◦ für die Menge A,
versehen mit der opponierten Verknüpfung, und x ◦ für das Element x ∈ A,
aufgefaßt als Element von A opp . Das hat den Vorteil, daß man sich das Verknüpfungssymbol
sparen kann, die Definition der opponierten Verknüpfung
wird dann b ◦ a ◦ := (ab) ◦ . Man zeige: Gegeben eine Gruppe G liefert das Bilden
des Inversen stets einen Gruppenisomorphismus G opp ∼ → G, g ◦ ↦→ g −1
zwischen der opponierten Gruppe und der ursprünglichen Gruppe.
Ergänzende Übung 3.3.16. Jede Halbgruppe G kann man zu einem Monoid
˜G erweitern, indem man noch ein Element hinzunimmt und ihm die Rolle
des neutralen Elements zuweist. Für jedes weitere Monoid H liefert dann das
Vorschalten der Einbettung G ↩→ ˜ G eine Bijektion
Mon( ˜ G, H) ∼ → Halb(G, H)