Analysis

5. VEKTORRAUMBÜNDEL UND FELDER 929
Definition 5.8.6. Gegeben eine Mannigfaltigkeit X, eine Liegruppe G, einen
G-Torsor Y → X und eine stetige, mithin glatte reelle endlichdimensionale
Darstellung ρ : G → GL(F ) erklären wir ein glattes Vektorraumbündel auf
X in hoffentlich selbsterklärender Weise als das balancierte Produkt
Y ×G F
5.8.7. Ist speziell V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, G = GL(V )
und ρ : G → GL(V ) die Identität, so spezialisiert diese Konstruktion zu
unserer Konstruktion aus 5.8.4. Man könnte die Konstruktion aus der vorhergehenden
Definition auch selbst noch in zwei Schritte zerlegen, von denen
der erste zu jedem Homomorphismus von Liegruppen G → H und jedem
G-Torsor Y auf X den H-Torsor Y ×G H auf X konstruiert, und der zweite
dann im Fall H = GL(F ) die bereits in 5.8.4 gegebene Konstruktion ist. So
weit will es jedoch hier noch nicht treiben.
Definition 5.8.8. Gegeben eine glatte n-Mannigfaltigkeit X liefert das Tangentialbündel
TX nach 5.8.15 einen GL(n; R)-Torsor Y → X. Alle stetigen
reellen endlichdimensionalen Darstellungen von GL(n; R) führen dann mit
5.8.19 zu weiteren Vektorraumbündeln. Ich nenne das auf diese Weise zu einer
stetigen reellen endlichdimensionalen Darstellung ρ : GL(n; R) → GL(F )
konstruierte Vektorraumbündel das ρ-Bündel auf X und nenne seine Schnitte
ρ-Felder.
Beispiel 5.8.9. Das Kotangentialbündel
5.8.10. Jetzt erkläre, wie Schnitte in Karten aussehen, und warum Fasern so
und so aussehen.
5.8.11. Ich will nun Satz 10.1.3 von Matrix-Liegruppen auf beliebige Liegruppen
verallgemeinern und muss dazu erklären, was Differentialformen auf
Mannigfaltigkeiten sind und wie diese integriert werden. Zunächst erinnere
ich an den Begriff eines reellen Vektorraumbündels auf einer Mannigfaltigkeit,
wobei wir sowohl unsere Mannigfaltigkeit als auch unser Bündel stets
als glatt annehmen wollen.
Ist nun X eine Mannigfaltigkeit und p : E → X ein R-Bündel, so erklären
wir das duale R-Bündel E∗ → X, indem wir auf der disjunkten Vereinigung
E ∗ =
x∈X
der Dualräume der Fasern von p mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion
q : E∗ → X die einzige Struktur eines R-Bündels betrachten derart, dass
n ∼
für jede Bündelkarte von E U × R −→ p−1 (U) die Verknüpfung
E ∗ x
U × R n ∼
−→ U × (R n ) ∗ N
−→ q −1 (U)