Analysis

162 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Ist G : R → R × ein stetiger Gruppenhomomorphismus, als da heißt
eine stetige Abbildung mit G(x + y) = G(x)G(y) ∀x, y ∈ R, so bildet G
nach I.3.4.13 notwendig das neutrale Element auf das neutrale Element ab,
in Formeln G(0) = 1. Mit dem Zwischenwertsatz folgt G(x) > 0 ∀x ∈ R.
Damit können wir den Gruppenhomomorphismus F = log ◦G : R → R
bilden und aus 3.3.26 folgt sofort F (x) = xF (1), also G(x) = exp(F (x)) =
exp(xF (1)) = exp(x log G(1)).
Ergänzende Übung 3.3.28. Die monotonen Gruppenhomomorphismen R →
R × von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe
der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die stetigen Gruppenhomomorphismen,
also genau die Abbildungen x ↦→ a x für festes a ∈ R>0.
Satz 3.3.29 (Stetigkeit als Folgenstetigkeit). Sei D ⊂ R eine Teilmenge,
f : D → R eine Funktion und a ∈ D ein Punkt. So sind gleichbedeutend:
1. f ist stetig bei a.
2. Für jede Folge a0, a1, . . . von Punkten aus D mit limn→∞ an = a gilt
limn→∞ f(an) = f(a).
Bemerkung 3.3.30. Die in diesem Satz gegebene Charakterisierung der Stetigkeit
wird vielfach sogar als Definition derselben gewählt. Das ist auch der
Grund, warum ich den Satz bereits hier beweise, obwohl er im weiteren Verlauf
der Vorlesung erst sehr viel später eine Rolle spielen wird.
Beweis. 1 ⇒ 2 haben wir schon in 3.3.18 erledigt, wir konzentrieren uns
deshalb auf 2 ⇒ 1. Das zeigen wir durch Widerspruch. Für unser a ∈ R finden
wir nach 2.1.42 eine absteigende Folge von Umgebungen V0 ⊃ V1 ⊃ V2 ⊃ . . .
derart, daß jede Umgebung V von a fast alle Vn umfaßt. Ist f nicht stetig
bei a, so gibt es eine Umgebung U von f(a) derart, daß für kein n gilt
f(Vn ∩ D) ⊂ U. Für jedes n finden wir also an ∈ Vn ∩ D mit f(an) ∈ U.
Die an bilden dann eine Folge in D mit limn→∞ an = a, für die nicht gilt
limn→∞ f(an) = f(a).
Ergänzende Übung 3.3.31. Man finde alle stetigen Funktionen G : R × → R
mit G(xy) = G(x) + G(y) ∀x, y ∈ R × , also alle stetigen Gruppenhomomorphismen
von der multiplikativen Gruppe der von Null verschiedenen reellen
Zahlen in die additive Gruppe aller reellen Zahlen.
Ergänzende Übung 3.3.32. Man zeige, daß die Aussage der vorhergehenden
Sätze 3.3.26 und 3.3.27 sogar folgt, wenn wir von unseren Gruppenhomomorphismen
nur die Stetigkeit bei Null fordern.