Analysis

718 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Ergänzung 3.3.8. Das Spektrum des Schrödinger-Operators, der ein quantenmechanisches
Elektron im elektrischen Potential eines Protons beschreibt, besitzt
viele isolierte Punkte. Sie entsprechen genau den Frequenzen, in die das
Licht eines angeregten Wasserstoffgases beim Durchgang durch ein Prisma
zerfällt. Unter diesem Blickwinkel ist die von Hilbert gewählte Bezeichnung
als “Spektrum” besonders passend.
Proposition 3.3.9 (Spektrum eines Multiplikationsoperators). Gegeben
ein Maßraum (X, µ) und darauf eine L ∞ -Funktion f : X → C im Sinne
von 1.3.2 und p ∈ [0, ∞] ist der durch Multiplikation mit unserer Funktion
erklärte Operator
(f·) : L p (X; µ) → L p (X; µ)
stetig. Ist unser Maßraum σ-endlich, so ist weiter die Operatornorm unseres
Multiplikationsoperators das essentielle Supremum f∞ von f aus 1.3.5 und
sein Spektrum ist die Menge
σ(f·) = {λ ∈ C | µ(f −1 (U)) > 0 für jede Umgebung R von λ}
Beweis. Hat f einen Repräsentanten mit |f(x)| ≤ C für alle x ∈ X, so folgt
|f(x)g(x)| ≤ C|g(x)| für alle x ∈ X. Diese Ungleichung bleibt erhalten beim
Potenzieren mit p, Integrieren über X und Ziehen der p-ten Wurzel. Das zeigt
(f·) ≤ f∞ für p < ∞. Ist andererseits 0 < a < f∞, so gibt es A ⊂ X
meßbar von positivem Maß mit |f(x)| ≥ a ∀x ∈ A. Ist X sogar σ-endlich, so
können wir zusätzlich sogar µ(A) endlich annehmen. Dann liegt die charakteristische
Funktion [A] in L p (X; µ) und ist dort nicht Null, und wir erkennen
unschwer, daß gilt f · [A] ≥ a[A]. Es folgt umgekehrt (f·) ≥ a und damit
(f·) ≥ f∞. Damit ist die erste Aussage gezeigt im Fall p < ∞. Der
Fall p = ∞ bleibe dem Leser überlassen. Für die Beschreibung des Spektrums
reicht es, indem wir f durch f − λ ersetzen, den Fall λ = 0 zu betrachten.
Gibt es für λ = 0 eine Umgebung U mit µ(f −1 (U)) = 0, so können wir
für unsere fast überall definierte Funktion f auch einen Repräsentanten f
wählen, der keine Werte in U annimmt, und dann ist f −1 beschränkt und
der zugehörige Multiplikationsoperator stetig und invers zu (f·). Also gehört
in diesem Fall λ = 0 nicht zum Spektrum. Gibt es dahingegen für λ = 0
keine Umgebung U mit µ(f −1 (U)) = 0, so finden wir in jeder ε-Umgebung
eine Teilmenge Aε endlichen positiven Maßes, und deren charakteristische
Funktion [Aε] ist ein von Null verschiedener Vektor in L p (X; µ) mit der Eigenschaft
f[Aε]p ≤ ε[Aε]p. Da also unser Multiplikationsoperator von
Null verschiedene Vektoren um beliebig große Faktoren verkürzt, kann er
unmöglich eine stetige Umkehrung besitzen: Selbst wenn er bijektiv wäre,