Analysis

5. VEKTORRAUMBÜNDEL UND FELDER 913
Das Auswerten liefert für jedes glatte Bündel E auf einer Mannigfaltigkeit X
einen Bündelmorphismus ev : E ∗ ⊗ E → X × R zum trivialen eindimensionalen
Bündel. Die Verallgemeinerung auf Gruppoidfunktoren mit einer beliebigen
endlichen Zahl von Eingängen scheint mir offensichtlich und möge vom
Leser selbst dazugedacht werden. Im Fall von nur einem Eingang liefert etwa
die durch Evaluation gegebene Isotransformation Id ∼ ⇒ B vom Identitätsfunktor
in den Bidualraumfunktor aus ?? für jedes glatte Vektorraumbündel
E einen natürlichen Isomorphismus mit seinem Bidualen
E ∼ → E ∗∗
5.1.17 (Gruppoidfunktoren und Darstellungen). Für jedes Monoid G
betrachte man nun die Kategorie [G] mit einem einzigen Objekt und für jedes
g ∈ G einem Morphismus von diesem Objekt zu sich selber. Gegeben ein
n-dimensionaler k-Vektorraum V erhalten wir eine Äquivalenz von Kategorien
in Gestalt des Funktors [GL(V )] ≈ → Mod ×
k (n), der das einzige Objekt
auf V wirft und auf Morphismen durch die offensichtliche Abbildung gegeben
wird. Mit ?? folgern wir, daß dieser Funktor auch eine Äquivalenz von
Funktorkategorien
Cat(Mod ×
k (n), Modfg k) ≈ → Cat([GL(V )], Modfg k)
induziert. Nun ist die rechte Seite nach 1.1.10 nichts anderes als die Kategorie
der Darstellungen von GL(V ), und im Fall k = R erhalten wir so auch für
jeden n-dimensionalen R-Vektorraum V eine Äquivalenz von Kategorien
Cat ∞ (ModR(n) × , ModfgR) ≈ GL(V )
→ ModfgR zwischen der Kategorie der glatten Gruppoidfunktoren und der Kategorie der
stetigen alias glatten Darstellungen. Ähnlich entsprechen Gruppoidfunktoren
mit mehreren Einträgen Darstellungen von Produkten mehrerer allgemeiner
linearer Gruppen.
Beispiel 5.1.18 (Der Betrag eines eindimensionalen R-Vektorraums).
Eine endlichdimensionale, ja sogar eine eindimensionale glatte Darstellung
von R × = GL(R) ist insbesondere der Betrag R × → R × . Ein zugehöriger
Gruppoidfunktor kann wie folgt konstruiert werden: Wir bilden zu jedem
eindimensionalen R-Vektorraum V seinen Betrag |V |, einen orientierten
eindimensionalen R-Vektorraum, wie folgt: Zunächst betrachten wir die
Menge aller Paare (v, ε) mit v ∈ V einem Vektor und ε einer Orientierung
von V . Auf dieser Menge betrachten wir die kleinste Äquivalenzrelation mit
(v, ε) ∼ (−v, −ε). Die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit |V |
und die Äquivalenzklasse von (v, ε) heiße [v, ε]. Auf dieser Menge |V | gibt es