Analysis

128 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Satz 2.5.8. Sind ak und bk konvergente Reihen, so konvergieren auch
die Reihen (ak + bk) und λak und es gilt:
(ak + bk) = ak + bk
λak = λ ak
Beweis. Das folgt sofort, wenn man die entsprechenden Aussagen für Folgen
2.1.36 auf die Folgen der Partialsummen anwendet.
2.5.9. Eine Reihe kann nur dann konvergieren, wenn die Folge der Reihenglieder
gegen Null strebt. In der Tat folgt das sofort, wenn wir 2.1.45 auf die
Folge der Partialsummen anwenden.
Lemma 2.5.10. Eine Reihe, die aus nichtnegativen Gliedern besteht, konvergiert
genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist.
Beweis. Ist kein Reihenglied negativ, so wächst die Folge der Partialsummen
monoton. Ist diese Folge auch noch beschränkt, so muß sie nach 2.2.4 reell
konvergent sein. Die Umkehrung ist eh klar.
Beispiel 2.5.11. Die harmonische Reihe ∞ 1
k=1
gilt
1
2
1 1 + 3 4
1 1 1 1 + + + 5 6 7 8
Jedoch konvergieren die Reihen ∞
k=1
1 ≥ 2
1 ≥ 2
1 ≥ 2
k
und so weiter.
konvergiert nicht, da ja
1
ks für s = 2, 3, 4, . . . , da für jede dieser
Reihen die Folge der Partialsummen beschränkt ist durch 1+ ∞
k=2
1
k(k−1)
= 2.
Vorschau 2.5.12. In der Funktionentheorie können Sie lernen, daß diese Reihen
sogar eine außerordentlich interessante Funktion ζ(s) definieren, die sogenannte
Riemann’sche ζ-Funktion. Wir werden in VIII.3.2.7 zeigen, daß
zum Beispiel gilt ζ(2) = π2
π4
π6
, ζ(4) = , ζ(6) = und nach VIII.3.2.5 haben
6 90 945
wir sogar ganz allgemein ζ(2n) ∈ Qπ2n für beliebige natürliche Zahlen n ≥ 1.
Alle diese Formeln sind berühmte Resultate des 1707 in Basel geborenen
Mathematikers Leonhard Euler. Als Übung 4.3.24 werden Sie im übrigen
zeigen, daß auch die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen bereits divergiert.
Für diejenigen unter Ihnen, die die komplexen Zahlen bereits kennen, sei
erwähnt, daß es mit etwas größerem Aufwand sogar gelingt, ζ(s) zu definieren
für jede komplexe Zahl s = 1, vergleiche etwa VIII.4.1.7. Die vielleicht
berühmteste Vermutung der Mathematik, die sogenannte Riemann’sche
Vermutung besagt, daß alle Nullstellen der Riemann’schen ζ-Funktion, die