Analysis

14. AB HIER NOCH NICHT IN DER VORLESUNG DRAN 1139
14 Ab hier noch nicht in der Vorlesung dran
14.1 Wohin?
Definition 14.1.1 (Tensorprodukt von Darstellungen). Gegeben zwei
Darstellungen V, W einer Gruppe G über einem Körper k macht ihr Tensorprodukt
V ⊗k W zu einer Darstellung vermittels der Regel
g(v ⊗ w) = gv ⊗ gw
Bemerkung 14.1.2. Natürlich ist V ⊗k W sogar in natürlicher Weise eine
Darstellung von G × G. Die Darstellung in der Definition entsteht daraus
durch Einschränken vermittels der diagonalen Einbettung G ↩→ G × G.
Beispiel 14.1.3. Operiert eine Gruppe auf einem Vektorraum V , so operiert
sie in natürlicher Weise auch auf dem Vektorraum Bil(V ) aller Bilinarformen
auf V . Der natürliche Isomorphismus
Bil(V ) ∼ → (V ⊗ V ) ∗
ist dann ein Isomorphismus von Darstellungen.
Lemma 14.1.4. Sind V, W endlichdimensionale stetige Darstellungen einer
Liegruppe G, so wird die Operation der Liealgebra auf Hom(V, W ) bzw. V ⊗W
gegeben durch die Formel
(Xf)(v) = X(f(v)) − f(Xv)
X(v ⊗ w) = (Xv) ⊗ w + v ⊗ (Xw)
Bemerkung 14.1.5. Speziell wird die Operation der Liealgebra auf der kontragradienten
Darstellung V ∗ gegeben durch (Xf)(v) = −f(Xv).
Beweis. Wir zeigen nur die zweite Formel. Es gilt, das Differential der Verknüpfung
G → End V × End W → End(V ⊗ W )
im neutralen Element zu berechnen. Die zweite Abbildung ist bilinear, ihr
Differential wird folglich durch ?? gegeben. Damit ergibt sich als Differential
X ↦→ (dρV (X), dρW (X)) ↦→ dρV (X) ⊗ idW + idV ⊗dρW (X)