Analysis

3. GRUNDLEGENDES ZU FOURIERREIHEN 337
3.2.2. Im folgenden verwende ich eine Begrifflichkeit, wie sie in ?? ausfühlicher
eingführt wird, und bespreche hier nur das Nötigste. Gegeben ein Körper
k bezeichnet man einen k-Vektorraum A mit einer bilinearen Verknüpfung
A × A → A ganz allgemein als eine k-Algebra. Ist die Verknüpfung assoziativ,
so spricht man von einer assoziativen Algebra. Gibt es für unsere
Verknüpfung ein neutrales Element, so spricht man von einer unitären Algebra
und nennt das fragliche Element das Eins-Element. Eine Algebra
ist also genau dann assoziativ und unitär, wenn die zugrundeliegende Menge
mit der Vektorraum-Addition als Addition und der bilinearen Verknüpfung
als Multiplikation im Sinne von ?? ein Ring ist. Ich schlage deshalb vor,
derartige Algebren Ringalgebren zu nennen.
3.2.3. Gegeben ein Körper k und eine beliebige Menge X ist etwa der k-
Vektorraum Ens(X, k) aller k-wertigen Funkionen auf X mit der punktweisen
Multiplikation als Verknüpfung eine Ringalgebra mit der konstanten Funktion
Eins als Eins-Element. Wir sagen, eine Teilmenge A ⊂ Ens(X, k) trenne
die Punkte von X genau dann, wenn es für alle x, y ∈ X mit x = y ein
a ∈ A gibt mit a(x) = a(y).
3.2.4. Gegeben ein Körper k und eine k-Algebra A versteht man unter einer
Unteralgebra B ⊂ A einen unter der Verknüpfung unserer Algebra
stabilen Untervektorraum. Gegeben ein Körper k und eine k-Ringalgebra A
verstehen wir unter einer Unterringalgebra B ⊂ A einen unter der Verknüpfung
unserer Ringalgebra stabilen Untervektorraum, der darüber hinaus
das Einselement der Ringalgebra A enthält. In anderen Worten ist eine Unterringalgebra
also eine Unteralgebra, die gleichzeitig im Sinne von ?? ein
Teilring ist.
3.2.5. Man beachte, daß wir bereits nach II.6.5.36 wissen, daß die stetigen
reellen Funktionen auf einem topologischen Raum X in der R-Ringalgebra
aller reellen Funktionen eine R-Unterringalgebra
C(X, R) ⊂ Ens(X, R)
bilden. Des weiteren wissen wir nach II.6.6.4, daß diese Unterringalgebra stabil
ist unter dem Bilden gleichmäßiger Grenzwerte. Gegeben ein kompakter
Raum X bezeichne im folgenden C(X, R) den reellen Vektorraum aller stetigen
reellwertigen Funktionen auf X mit seiner Supremumsnorm.
Definition 3.2.6. Eine Teilmenge eines metrischen oder auch eines topologischen
Raums heißt dicht genau dann, wenn ihr Abschluß der ganze Raum
ist.
Satz 3.2.7 (Stone-Weierstraß). In der Ringalgebra aller stetigen reellwertigen
Funktionen auf einem kompakten Raum liegt jede Unterringalgebra, die