Analysis

984 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
auch s = sH : E → E. Für beliebiges w ∈ W gilt dann swH = wsHw −1 , denn
beide Seiten sind Spiegelungen aus W mit derselben Spiegelebene.
7.3.9. Gegeben ein endlichdimensionaler affiner euklidischer Raum E und
eine affine Hyperebene H ⊂ E schreiben wir die orthogonale Spiegelung
an der Hyperebene H auch sH : E → E. Für eine beliebige orthogonale
Abbildung w : E → E gilt dann swH = wsHw −1 , denn beide Seiten sind
orthogonale Spiegelungen mit derselben Spiegelebene.
Ergänzung 7.3.10. Hier ist im Fall unendlicher Dimension übrigends Vorsicht
geboten: In dieser Allgemeinheit könnte es passieren, daß das orthogonale
Komplement einer linearen Hyperebene nur aus dem Nullvektor besteht:
Sogar das orthogonale Komplement des Raums aller differenzierbaren Funktionen
[0, 1] → R im Raum aller stetigen Funktionen bezüglich des üblichen
Skalarprodukts 〈f, g〉 = fg ist ja schon Null.
Beispiel 7.3.11. Wir betrachten die Menge H aller derjenigen Geraden in
R 2 , die parallel sind zu einer der Koordinatenachsen und durch einen Punkt
mit ganzzahligen Koordinaten gehen. Offensichtlich ist H die Menge aller
Spiegelebenen einer affinen euklidischen Spiegelungsgruppe und die Alkoven
sind gerade die “Felder dieses Rechenpapiers”. Allgemeiner können wir natürlich
auch die Menge H aller derjenigen Hyperebenen in R n betrachten,
die parallel sind zu einer der Koordinaten-Hyperebenen und die einen Punkt
mit ganzzahligen Koordinaten enthalten. Im Fall n = 1 sind die Alkoven die
offenen Segmente (i, i + 1), im Fall n = 3 haben sie die Gestalt von Würfeln.
Übung 7.3.12. Eine endliche Gruppe von Bewegungen eines affinen Raums
über einem Körper der Charakteristik Null hat stets einen Fixpunkt, genauer
ist der Schwerpunkt jeder Bahn ein Fixpunkt.
Satz 7.3.13 (Geometrie affiner Spiegelungsgruppen). Sei H ein lokal
endliches System von Hyperebenen in einem endlichdimensionalen euklidischen
affinen Raum über einem angeordneten Körper, das unter allen
orthogonalen Spiegelungen an seinen Hyperebenen stabil ist. So gilt:
1. Unser System H ist das System aller Spiegelebenen einer affinen euklidischen
Spiegelungsgruppe.
2. Für jeden festen Alkoven in Bezug auf H erzeugen die Spiegelungen an
seinen Wänden bereits die gesamte Spiegelungsgruppe.
3. Ist A ein fester Alkoven und w = s1 . . . sr eine kürzestmögliche Darstellung
eines Elements w unserer Spiegelungsgruppe als Produkt von Spiegelungen
si an den Wänden von A, so ist die Länge r dieser Darstellung
genau die Zahl der Spiegelebenen H ∈ H, die wA von A trennen.