Analysis

7. RAUMWERTIGE FUNKTIONEN 289
im Banachraum B(V ) := B(V, V ) aller stetigen linearen Abbildungen von
V in sich selbst aus 7.5.9 zu bilden. Die im Folgenden bewiesenen Aussagen
verallgemeinern sich ohne Schwierigkeiten auf diesen Fall. Er ist für die Quantenmechanik
fundamental, denn die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen
Systems mit Hamiltonoperator H wird dadurch beschrieben, daß
ein Zustand ψ in der Zeitspanne t in den Zustand exp(i tH)ψ übergeht.
Lemma 7.5.24. Die Exponentialabbildung wirft die Null auf die Identität,
und sind A, B zwei kommutierende Endomorphismen, gilt also in Formeln
AB = BA, so folgt
exp(A + B) = (exp A)(exp B)
7.5.25. Insbesondere folgt exp(−A) = (exp A) −1 , die Exponentialabbildung
ist mithin eine Abbildung von der Menge der Endomorphismen in die Menge
der Automorphismen exp : End V → Aut V. Die Aussage des Lemmas gilt
ganz allgemein für beliebige stetige Endomorphismen von Banachräumen.
Beweis. Genau wie bei der Diskussion des Produkts absolut konvergenter
Reihen in 2.6.11 zeigt man zunächst
(exp A)(exp B) =
(i,j)∈N×N
A i B j
i!j!
Dann faßt man mithilfe von 7.5.20 die Terme mit i + j = k zusammen
und landet wegen AB = BA wie beim Beweis der Funktionalgleichung der
Exponentialfunktion 2.6.8 bei der Reihe für exp(A + B).
Ergänzung 7.5.26. Es gilt auch eine koordinatenfreie Variante von 7.4.9. Ist
genauer V ein Banachraum und A : V → V eine stetige lineare Abbildung
und c ∈ V ein Vektor, so gibt es genau eine differenzierbare Abbildung γ :
R → V mit γ(0) = c und γ ′ (t) = Aγ(t) ∀t ∈ R, und diese Abbildung wird
gegeben durch die Formel
γ(t) = exp(tA)c
Der Beweis verläuft völlig analog zum Beweis von 7.4.9. Problematisch ist
nur, daß die Produktregel in der benötigten Allgemeinheit erst in IV.1.4.5
zur Verfügung gestellt wird.
Ergänzende Übung 7.5.27. Für jeden Banachraum V ist exp : B(V ) → B(V )
stetig. Hinweis: 6.6.4.