Analysis

864 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
E und eine offene Teilmenge X ⊂◦ E liefert für jeden Punkt x ∈ X das Bilden
der Richtungsableitung einen Isomorphismus
can : E ∼ → TxX
Er ist so kanonisch, daß man ihn meist nicht explizit notiert.
Definition 4.3.5. Ist ϕ : X → Y ein glatter Morphismus glatter Mannigfaltigkeiten,
so definiert für jeden Punkt x ∈ X das Transponieren des
Zurückholens von Funktionskeimen (◦ϕ) : OY,ϕ(x) → OX,x eine R-lineare Abbildung
auf den Tangentialräumen, das Differential von ϕ bei x, das wir
notieren als
dxϕ : TxX → Tϕ(x)Y
In der Tat dürfen wir, um das einzusehen, ohne Beschränkung der Allgemeinheit
annehmen, daß X bzw. Y offene Teilmengen endlichdimensionaler reeller
Räume E bzw. F sind, und diesen Fall haben wir bereits in 4.3.2 erledigt.
Übung 4.3.6 (Der Tangentialraum als Funktor). Gegeben glatte Mor-
phismen von glatten Mannigfaltigkeiten X ϕ → Y ψ → Z gilt für alle x ∈ X die
Kettenregel
dx(ψ ◦ ϕ) = (dϕ(x)ψ) ◦ (dxϕ)
Sie ist in diesem Zusammenhang als Gleichheit von linearen Abbildungen
TxX → Tψ(ϕ(x))Z zu verstehen. Weiter gilt dx(id) = id : TxX → TxX. Wie
in 4.3.11 ausgeführt wird, ist also der Tangentialraum ein Funktor von der
Kategorie der punktierten C 1 -Mannigfaltigkeiten in die Kategorie der reellen
Vektorräume.
4.3.7. Das Differential einer konstanten Abbildung ist an jedem Punkt Null.
In der Tat faktorisiert eine konstante Abbildung über eine nulldimensionale
Mannigfaltigkeit, und deren Tangentialräume sind eben Null. Die Kettenregel
liefert dann die Behauptung.
Übung 4.3.8. Gegeben eine glatte reellwertige Funktion f : X → R auf einer
Mannigfaltigkeit und ein Punkt x ∈ X und ein Tangentialvektor v ∈ TxX
haben wir
Dvf = can −1 ((dxf)(v))
für can : R ∼ → Tf(x)R die kanonische Identifikation aus 4.3.4. Meist wird diese
kanonische Identifikation nicht explizit notiert und man schreibt kurzerhand
Dvf = (dxf)(v). Durch diese Formel erklären wir dann auch allgemeiner die
Richtungsableitung Dvf einer glatten Funktion f : X → W mit Werten
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum W . Diese Richtungsableitung
ist dann ein Vektor Dvf := (dxf)(v) ∈ W .