Analysis

1242 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
“theorema egregium”, dem “köstlichen Theorem” von Gauß folgen, nach dem
sich beim Verbiegen von Blechen im Sinne der vorhergehenden Diskussion
ihre Gauss’sche Krümmung nicht ändert. Man nennt deshalb die Gauss’sche
Krümmung auch eine Invariante der “inneren Geometrie” unserer Fläche. Im
Gegensatz dazu sind die beiden Hauptkrümmungen keine Invarianten der inneren
Geometrie: In der Tat sind ja etwa bei einem Stück der Oberfläche eines
Zylinders nicht beide Hauptkrümmungen Null, bei einem platten Blech aber
doch. Da nun aber die Kugeloberfläche konstante positive Gauss’sche Krümmung
hat, ein plattes Blech dahingegen konstante verschwindende Gauss’sche
Krümmung, können wir dann folgern, daß diese beiden Flächen auch lokal
nicht durch Verbiegen ineinander zu überführen sind. Das Vorzeichen der
Gauss’schen Krümmung einer in den euklidischen Raum eingebetteten Fläche
kann man wie folgt verstehen: Versuchen wir, ein Papier auf unsere Fläche
aufzukleben, so wird es sich im Fall positiver Gauss’scher Krümmung in Falten
legen wie beim Verpacken eines Fußballs, oder es wird im Fall negativer
Gauss’scher Krümmung reißen, etwa beim Tapezieren des Gipsmodells einer
Paßhöhe. Nur im Fall verschwindender Gauss’scher Krümmung läßt sich unser
Papier glatt aufkleben, etwa auf eine Eistüte oder auf einen Zylinder.
Man hat mir berichtet, eine Firma, die Windschutzscheiben herstellte, hatte
das Problem, daß die Scheiben beim Erhitzen und Verbiegen in eine gewisse
Form sehr oft barsten. Ein dort als Praktikand tätiger Student der Mathematik
erklärte seinen Arbeitgebern dann, daß sie besser nicht versuchen sollten,
flaches Glas in eine Fläche mit zu weit von Null abweichender Gauss’scher
Krümmung zu verbiegen.
3.13 Paralleltransport auf gekrümmten Räumen
Definition 3.13.1. Gegeben ein reeller euklidischer Raum E endlicher Dimension,
eine glatte Mannigfaltigkeit M ⊂ E, ein Weg γ : [a, b] → M
und ein Tangentialvektor w[a] ∈ Tγ(a)M definieren wir für jede Unterteilung
a = a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ar = b ausgehend von w0 := w[a] induktiv
wi =
die orthogonale Projektion von
wi−1 ∈ Tγ(ai−1)M ⊂ E auf Tγ(ai)M
Anschaulich gesprochen verschieben wir also unser w0 parallel im Raum E
das erste Wegstück nach γ(a1), projizieren dort orthogonal auf den Tangentialraum,
verschieben weiter parallel im Raum E nach γ(a2), projizieren
wieder, und so weiter, bis wir bei γ(b) oder genauer im dortigen Tangentialraum
Tγ(b)M angekommen sind. Falls nun diese Vektoren wr ∈ Tγ(b)M
bei “wachsender Feinheit der Unterteilung gegen einen Vektor w[b] ∈ Tγ(b)M