Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1293
Satz 4.7.4 (Konvergenz endlicher Markov-Ketten). Ist bei einer endlichen
Markov-Kette die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen je zwei Zuständen
positiv, in Formeln Qij > 0 ∀i, j, so gibt es genau eine stabile
Verteilung s und für jede Anfangsverteilung p gilt
lim
n→∞ Qnp = s
4.7.5. Ich wüßte gerne, ob und wenn ja wie die Beziehung zur Konvexgeometrie
?? präzisiert werden kann.
Ergänzung 4.7.6 (Bewertung von Seiten im Netz). Die Bewertung von
Seiten im Netz durch Suchmaschinen baut auf der Vorstellung auf, daß ein
Surfer auf einer gegebenen Seite jeden der Verweise zu weiteren Seiten mit
gleicher Wahrscheinlichkeit anklickt. Damit er nicht bei einer Seite hängenbleiben
kann, die auf gar keine weitere Seite verweist, denkt man sich dabei
auf jeder Seite zusätzlich einen Verweis angebracht, der einen beim Daraufklicken
zu einer zufällig ausgesuchten Seite schickt, und der mit derselben
Wahrscheinlichkeit angeklickt wird wie alle anderen. Die durch diese Markovkette
bestimmte stabile Verteilung ist dann die gesuchte Bewertung von
Seiten im Netz. Eine Seite ist damit desto höher bewertet, je mehr Seiten
darauf verweisen, wobei Verweise von Seiten, die ihrerseits höher bewertet
sind, entsprechend stärker gewichtet werden.
Beweis. In der Tat beschreibt ja Q eine lineare Abbildung, die jeden Vektor
der Standardbasis ins Innere des positiven Quadranten kippt und die
die affine Hyperebene H = {(xi)i∈E | xi = 1} auf sich selbst abbildet.
Es scheint mir damit anschaulich klar, daß Q ein Kontraktion Q : H → H
definiert und daß der Fixpunkt dieser Kontraktion im Innern des positiven
Quadranten Ens(E, R>0) liegen muß. Um das zu beweisen reicht es zu zeigen,
daß Q bezüglich irgendeiner Norm kontrahierend wirkt auf der linearen
Hyperebene, die gegeben wird durch die Gleichung xi = 0. Wir zeigen das
bezüglich der Norm |x| = |xi|. Sei δ der kleinste Eintrag von Q. Schreiben
wir Q = δU + R für U die Matrix mit einer Eins in jedem Eintrag, so hat R
nur nichtnegative Einträge. Damit erhalten wir
|Qx| = |Rx| =
Rijxj
≤ Rij|xj| = λ|x|
i
j
für λ = 1 − nδ die Summe der Einträge von R in einer und jeder Spalte. Also
ist Q : H → H kontrahierend und hat genau einen Fixvektor s, dessen Koordinaten
alle positiv sein müssen. Alle anderen Eigenwerte von Q müssen auch
Eigenwerte der Einschränkung auf die lineare Ebene xi = 0 sein und sind
folglich im Absolutbetrag beschränkt durch unsere Kontraktionskonstante
1 − nδ, etwa nach V.3.3.15.
i,j