Analysis

4. ERSTE ANWENDUNGEN IN DER ZAHLENTHEORIE 1415
4.1.15. Statt f meßbar ist für unsere Anwendung die elementarere Bedingung
ausreichend, daß f stetig sein soll auf dem Komplement des Bildes einer
streng monoton wachsenden Folge. Die Bezeichnung als “Taubersatz” kommt
her von der vagen Analogie zum ursprünglichen Satz von Tauber, den wir in
II.5.4.4 diskutieren.
Beweis. Für T ∈ [0, ∞) und z ∈ C setzen wir FT (z) = T
0 f(t) e−zt dt. Diese
Funktionen sind natürlich holomorph. Betrachten wir nun R > 0 und wählen
δ > 0 so klein, daß F sich holomorph fortsetzen läßt auf eine offene Menge,
die
{z ∈ C | |z| ≤ R, Re z ≥ −δ}
umfaßt. Ist γ der Randweg dieses Gebiets, so liefert der Integralsatz von
Cauchy
F (0) − FT (0) = 1
(F (z) − FT (z)) e
2πi γ
zT
1 + z2
R2
dz
z
Das Hinzufügen der beiden hinteren Faktoren ist ein Kunstgriff, dessen Herkunft
ich nicht verstehe. Wir schätzen nun unser Wegintegral ab. Auf dem
offenen Halbkreis |z| = R, Re z > 0, ja sogar auch der ganzen offenen Halbebene
Re z > 0, finden wir unter der Annahme |f(t)| ≤ B für alle t die
Schranke
∞
|F (z) − FT (z)| =
f(t) e zt
∞
dt
≤ B | e −zt z)T B e−(Re
| dt =
Re z
T
Da für |w| = 1 stets gilt |1 + w2 | = |w−1 + w| = 2| Re w|, erhalten wir auf der
Halbebene Re(z) > 0 für den Betrag der hinteren Faktoren
ezT
1 + z2
R2
1
z)T 2 Re(z)
z = e(Re
R2 Das Integral über den Teil unseres Weges mit Realteil größergleich Null ist
also betragsmäßig beschränkt durch 2πB/R. Das Integral über den Teil des
Weges γ in der Halbebene Re z ≤ 0 schätzen wir für F und für FT separat
ab. Da FT holomorph ist auf ganz C, können wir ebensogut das Integral über
den Halbkreis |z| = R, Re z ≤ 0 berechnen. Für Re z < 0 finden wir
T
|FT (z)| =
f(t) e −zt
T
dt
≤ B | e −zt z)T
e−(Re
| dt ≤
− Re z
0
und mit derselben Abschätzung wie zuvor ist dieser Anteil des Integrals betragsmäßig
beschränkt durch 2πB/R. Das Integral über
F (z) e zT
1 + z2
R2
1
z
0
T