Analysis

1. KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 315
Der Grenzwert unserer Riemannsummen existiert also in der Tat und stimmt
mit I(f) überein. Die erste Eigenschaft zeigt man nun, indem man die Notation
I zu I b a verfeinert, dann die Identität
I b a(f) = I c a(f) + I b c(f)
zunächst für Treppenfunktionen f ∈ T prüft, und sie dann für alle Funktionen
aus ¯ T folgert. Die drei anderen Eigenschaften erhält man, indem man die
analogen Eigenschaften für Riemannsummen hinschreibt und zum Grenzwert
übergeht.
1.3.5. Wie im Fall reellwertiger Funktionen verwenden wir auch im Fall vektorwertiger
Funktionen die Konvention a
b f = − b
f und ist f : I → V eine
a
stetige Abbildung von einem reellen Intervall in einen Banachraum, so gilt
für beliebige a, b, c ∈ I die Formel b
a f = c
a f + b
c f.
Satz 1.3.6 (Vektorwertige Variante des Hauptsatzes). Gegeben ein
halboffenes Intervall I ⊂ R, ein Banachraum V , eine stetige Funktion f :
I → V und ein Punkt a ∈ I ist die Funktion
F : I → V
x ↦→ x
f(t) dt
a
die einzige differenzierbare Funktion F : I → V mit F ′ = f und F (a) = 0.
Beweis. Sehr ähnlich zum Beweis für reellwertige Funktionen und dem Leser
zur Übung überlassen.
Korollar 1.3.7 (Integrieren mit Stammfunktionen). Sei V ein Banachraum
und f : [a, b] → V stetig. Ist G : [a, b] → V eine Stammfunktion von
f, d.h. eine differenzierbare Funktion mit Ableitung G ′ (t) = f(t), so gilt
b
a
f(t) dt = G(b) − G(a)
Beweis. Das folgt sofort aus dem vorhergehenden Satz 1.3.6.
Übung 1.3.8 (Substitution). Man formuliere und beweise das Analogon der
Substitutionsregel II.4.6.1 für g : [a, b] → R stetig differenzierbar und f :
g([a, b]) → V stetig mit Werten in einem Banachraum V .
Ergänzende Übung 1.3.9. Man berechne 1
0 ei t dt. Hinweis: 1.1.12. Man finde
eine Stammfunktion von cos 4 x. Hinweis: 1.1.4.
Ergänzende Übung 1.3.10. Man formuliere und beweise eine Variante für vektorwertige
Funktionen des Satzes II.6.11.1 über Integrale mit Parametern.