Analysis

966 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
7 Spiegelungsgruppen
7.1 Endliche Spiegelungsgruppen
Definition 7.1.1. Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in sich
selbst heißt eine Spiegelung oder noch präziser eine lineare Spiegelung
genau dann, wenn ihr Quadrat die Identität ist und ihre Fixpunktmenge eine
Hyperebene, und wenn wir uns nicht in Charakteristik Zwei befinden. Wir
nennen die Fixpunktmenge einer Spiegelung auch ihre Spiegelhyperebene
oder abkürzend Spiegelebene.
7.1.2 (Formelhafte Darstellung von Spiegelungen). Sei k ein Körper
einer Charakteristik char k = 2 und V ein k-Vektorraum und s : V → V eine
Spiegelung. Wir notieren V s ihre Fixpunktmenge alias Spiegelebene. Wegen
unserer Annahme char k = 2 hat jedes v ∈ V die Zerlegung v = (v + sv)/2 +
(v − sv)/2. Wir folgern die Zerlegung V = V s ⊕ V −s von V in Eigenräume
von s zu den Eigenwerten ±1. Insbesondere ist der Eigenraum zum Eigenwert
−1 unserer Spiegelung stets eine Gerade, in Formeln dimk V −s = 1. Ist V ein
Vektorraum und V ∗ sein Dualraum, so schreiben wir für den Wert f(λ) von
f ∈ V ∗ an einer Stelle λ ∈ V auch 〈f, λ〉 oder sogar 〈λ, f〉. Wählen wir nun in
V einen Eigenvektor α unserer Spiegelung s zum Eigenwert −1 und diejenige
Linearform α ∨ ∈ V ∗ mit ker α ∨ = V s und 〈α, α ∨ 〉 = 2, so gilt
s(λ) = λ − 〈λ, α ∨ 〉α
für alle λ in V = kα ⊕ V s . Umgekehrt erhalten wir für beliebige α ∈ V ,
α∨ ∈ V ∗ mit 〈α, α∨ 〉 = 2 eine Spiegelung sα,α∨ durch die Vorschrift
sα,α∨ : V → V
λ ↦→ λ − 〈λ, α∨ 〉α
7.1.3 (Orthogonale Spiegelungen). Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum
über einem angeordneten Körper und ist die Spiegelung s = sα,α∨ :
λ ↦→ λ − 〈λ, α∨ 〉α orthogonal bezüglich eines Skalarprodukts ( , ) auf V , in
Formeln (sλ, sµ) = (λ, µ) ∀λ, µ ∈ V , so gilt offensichtlich V s = α⊥ = {v ∈
V | (v, α) = 0} und wir haben
〈λ, α ∨ 〉 =
2(λ, α)
(α, α)
∀λ ∈ V
In der Tat nehmen beide Seiten offensichtlich auf λ = α und auf jedem λ ∈ α ⊥
denselben Wert an. In anderen Worten bildet der zu unserem Skalarprodukt
gehörige Isomorphismus V ∼ → V ∗ , λ ↦→ (λ, ) den Vektor 2α/(α, α) auf α ∨ ab.