Analysis

452 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
stetig differenzierbar nach dem Umkehrsatz. Ihre Ableitung bei z ∈ C1 ergibt
sich leicht, wenn man die Definitionsgleichung f(z, g(z)) = b als Abbildung
C1 → Y auffaßt und auf beiden Seiten das Differential an der Stelle z nimmt:
Mit der Kettenregel folgt nämlich
d(z,g(z))f ◦
id
= 0
dzg
und zerlegen wir darin d(z,g(z))f = (d(z,g(z))f ◦ in Z , d(z,g(z))f ◦ in X ) als Zeilen-
Blockmatrix im Sinne von ??, so ergibt sich sofort die behauptete Formel für
das Differential.
Ergänzung 4.2.14. Wir zeigen noch unsere Behauptung 4.2.5 und zeigen genauer,
daß für C1 wie im vorhergehenden Beweis und U ⊂◦ C1 eine wegzusammenhängende
Umgebung von c die Einschränkung der bisher betrachteten
Funktion g : C1 → A1 auch die einzige stetige Funktion ˆg : U → A ist mit
ˆg(c) = a und f(z, ˆg(z)) = b für alle z ∈ U. Sei in der Tat solch ein ˆg gegeben.
Die Menge der Punkte z ∈ U mit ˆg(z) = g(z) ist nicht leer, da sie c enthält.
Sie ist abgeschlossen in U wegen der Stetigkeit beider Funktionen. Wenn wir
auch noch ihre Offenheit zeigen, sind wir fertig mit der Beschreibung VI.1.3.7,
VI.1.3.9 des Zusammenhangs. Wegen der Stetigkeit nimmt ˆg in einer Umgebung
von c nur Werte aus A1 an, in dieser Umgebung von c muß also ˆg mit
g übereinstimmen. Dieselbe Argumentation greift nun aber für jeden Punkt
z ∈ U mit ˆg(z) = g(z), denn alles bereits Gesagte gilt genauso für (z, g(z))
wie für (c, a).
Übung 4.2.15. Gegeben eine einfache Nullstelle eines reellen oder komplexen
Polynoms wird bei hinreichend kleinem Wackeln an den Koeffizienten
des Polynoms sich auch unsere Nullstelle nur ein bißchen bewegen und differenzierbar,
im komplexen Fall sogar komplex differenzierbar von besagten
Koeffizienten abhängen. Man formuliere diese Aussage präzise und beweise
sie.
Übung 4.2.16. Man zeige, daß es keine stetig differenzierbare bijektive Abbildung
R 2 ∼ → R geben kann.
4.3 Untermannigfaltigkeiten reeller Räume
4.3.1. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir Formeln herleiten für die
Oberfläche einer Kugel oder eines Ellipsoids oder eines Torus alias Schwimmrings
im R 3 und allgemeiner Maxima und Minima von Funktionen auf derartigen
Gebilden untersuchen. Später werden wir darüber hinaus Funktionen
über derartige Gebilde integrieren. Um alle diese Formeln in angemessener