Analysis

1030 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ergänzung 8.4.9. Gegeben eine nichttriviale endliche Spiegelungsgruppe bezeichnet
man den Quotienten
2(Zahl der Spiegelungen)/(Zahl der Wände eines Alkoven)
als die Coxeterzahl unserer endlichen Spiegelungsgruppe. Sie ist eine natürliche
Zahl, genauer kann sie auch beschrieben als die Ordnung des Produkts
aller Spiegelungen an den Wänden eines festen Alkoven: Alle derartigen Produkte,
in beliebiger Reihenfolge und für beliebige Alkoven, bilden eine Konjugationsklasse,
so daß es hier auf Wahlen nicht ankommt.
Ergänzung 8.4.10. Gegeben ein unzerlegbares Wurzelsystem R definiert man
seine duale Coxeterzahl als 〈ρ, Λ ∨ 〉 + 1 für ρ die Halbsumme der Wurzeln
aus einem System positiver Wurzeln und Λ die höchste Wurzel dieses
Systems.
8.5 Klassifikation von Wurzelsystemen
Definition 8.5.1. Gegeben ein Wurzelsystem R mit Basis Π definiert man
seine Cartan-Matrix als die (Π × Π)-Matrix mit ganzzahligen Einträgen
alias die Abbildung (Π × Π) → Z gegeben durch
C(R) = (〈α, β ∨ 〉)α,β∈Π
Diese Matrix hängt nach 8.3.6 im Wesentlichen nicht von der Wahl unserer
Basis ab.
Ergänzung 8.5.2. Genauer kann man die Menge B aller Basen des Wurzelsystems
R betrachten, dann im Produkt B × R die Teilmenge T aller Paare
(Π, α) bestehend aus einer Basis Π und einer Wurzel α ∈ Π, und schließlich
die Menge
Π(R) := W \T
der Bahnen der Weylgruppe auf T . Diese Menge Π(R) hängt dann von keinerlei
Wahlen mehr ab, man mag sie die universelle Basis des Wurzelsystems
R nennen, und wir können damit die Cartan-Matrix C(R) auffassen als eine
von keinerlei Wahlen mehr abhängige (Π(R) × Π(R))-Matrix.
8.5.3. Die Cartan-Matrizen zu Wurzelsystemen haben typischerweise nur sehr
wenige von Null verschiedene Einträge. Darüber hinaus stehen auf der Diagonalen
nur Zweier, außerhalb der Diagonalen sind alle Einträge nichtpositiv,
und es gilt
0 ≤ 〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉 < 4