Analysis

3. WEGINTEGRALE 393
2.3.2 eingeführten Notation auch schreiben als die Übereinstimmung erster
Ordnung von Funktionen der “Verrückungen” δxi der Gestalt
δf ∼ 1 0
n ∂f
δxi
∂xi
i=1
Beispiel 3.1.12. Die Funktion f : R 3 \0 → R, v ↦→ 1/v hat mit der Konvention
v = (x, y, z) das Differential df = −(x dx + y dy + z dz)/v 3 .
Definition 3.1.13. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum X, eine
halboffene Teilmenge U ⊂ X, ein Vektorfeld A : U → X und eine differenzierbare
Funktion f : U → R erklären wir eine Funktion (Af) : U → R durch
die Vorschrift
(Af)(p) := (dpf)(Ap)
Ist U eine Umgebung von p, so ist nach 1.2.6 also (Af)(p) die Richtungsableitung
von f bei p in der Richtung Ap. Wir sagen deshalb auch, die Funktion
Af entstehe aus f durch Ableiten in Richtung des Vektorfelds A. In
anderen Worten entsteht diese Funktion durch das Paaren des Vektorfelds
A mit der das durch das Differential der Funktion f gegebene Kovektorfeld
df. Mit unserer Notation 3.1.7 kann diese Funktion auch 〈df, A〉 geschrieben
werden.
3.1.14. Meist werden Vektorfelder identifiziert mit den zugehörigen Differentialoperatoren.
So notiere ich etwa das konstante Vektorfeld v wie die
zugehörige Richtungsableitung Dv. Spezieller bezeichnet man das konstante
Vektorfeld mit Wert ei auf Rn oft als “das Vektorfeld ∂ ” oder “das Vek-
∂xi
torfeld ∂i” und im Fall nicht nummerierter Koordinaten wie etwa x, y, z auf
R3 schreiben wir für die fraglichen Vektorfelder auch ∂x, ∂y, ∂z oder dergleichen.
Sicher läßt sich jedes Vektorfeld auf U ⊂ Rn halboffen schreiben in der
Gestalt
ci∂i
mit eindeutig bestimmten ci : U → R. Paaren wir etwa das Vektorfeld ci∂i
auf R n mit dem Kovektorfeld ai dxi, so ergibt sich die Funktion aici.
In unserer Notation 3.1.7 und mit dem Kroneckerdelta haben wir nämlich in
der Tat
〈dxi, ∂j〉 = δij
3.1.15. Zumindest unter linearen Koordinatentransformationen verhalten sich
Kovektorfelder “so wie Koordinaten”. Ist etwa x1, . . . , xn ein System linearer
Koordinaten auf X im Sinne eines Systems von Abbildungen xi : X → R, die
zusammen einen Isomorphismus von affinen Räumen X → R n liefern, und